Calcolatrice del Fattoriale

Che cos’è una calcolatrice del fattoriale?

Una calcolatrice del fattoriale trova il fattoriale di un numero intero non negativo, scritto $n!$ e letto ad alta voce come «n fattoriale». Il fattoriale è il prodotto di tutti i numeri interi positivi da $1$ fino a $n$ incluso. Inserisci un valore per $n$ e la calcolatrice restituisce immediatamente $n!$.

I fattoriali crescono in modo estremamente rapido: $5!$ è già $120$, e $10!$ supera i tre milioni. A causa di questa rapida crescita, i fattoriali compaiono ovunque nella combinatoria, nella probabilità, nell’algebra e nell’analisi, ogni volta che devi contare il numero di modi in cui gli oggetti possono essere disposti.

Come funziona?

Il fattoriale è definito come il prodotto di tutti i numeri interi positivi fino a $n$:

$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

Esiste un importante caso speciale. Il fattoriale di zero è definito uguale a uno:

$0! = 1$

Questo non è un caso né un’eccezione aggiunta a posteriori. Esiste esattamente un modo per disporre zero oggetti (la disposizione vuota), quindi $0! = 1$ mantiene coerenti le formule di conteggio. Deriva anche dalla regola ricorsiva $n! = n \times (n-1)!$: ponendo $n = 1$ si ottiene $1! = 1 \times 0!$, che vale solo se $0! = 1$.

I fattoriali sono definiti solo per i numeri interi non negativi. Un numero negativo o una frazione come $2.5$ non ha un fattoriale ordinario, quindi la calcolatrice lascia vuoto il risultato per tali valori in ingresso. (La funzione gamma estende l’idea ad altri numeri, ma questo va oltre un fattoriale di base.)

Esempi svolti

• $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
• $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
• $10! = 10 \times 9 \times 8 \times \cdots \times 2 \times 1 = 3{,}628{,}800$
• $1! = 1$
• $0! = 1$

Nota la scorciatoia ricorsiva all’opera: una volta che sai che $5! = 120$, calcolare $6!$ è semplicemente $6 \times 120 = 720$, e $10!$ si costruisce allo stesso modo, un passo alla volta.

Note pratiche

I fattoriali sono il motore alla base delle permutazioni e delle combinazioni. Il numero di modi per disporre $n$ elementi distinti in ordine è $n!$, e le formule per le permutazioni $P(n, r)$ e le combinazioni $C(n, r)$ sono entrambe scritte in termini di fattoriali. Se stai contando disposizioni o selezioni, consulta la calcolatrice delle permutazioni su https://www.mega-calculator.com/it/math/permutations/ e la calcolatrice delle combinazioni su https://www.mega-calculator.com/it/math/combinations/.

Poiché i fattoriali esplodono in dimensione, questa calcolatrice accetta valori fino a $170$. Oltre quel punto, $n!$ supera il più grande valore finito che un numero informatico standard può rappresentare, quindi il risultato viene lasciato vuoto invece di essere riportato come infinito. Per il conteggio quotidiano e i lavori di probabilità, questo intervallo è più che sufficiente.