Calcolatrice del teorema del coseno

Che cos’è una calcolatrice del teorema del coseno?

La calcolatrice del teorema del coseno risolve un triangolo quando conosci due dei suoi lati e l’angolo tra essi (il caso «lato-angolo-lato»). Inserisci il lato $a$, il lato $b$ e l’angolo compreso $C$, e la calcolatrice restituisce la lunghezza del terzo lato $c$ insieme ai due angoli rimanenti $A$ e $B$.

Il teorema del coseno è una generalizzazione del teorema di Pitagora. Quando l’angolo compreso è esattamente $90°$, il termine del coseno si annulla e la formula si riduce a $c^2 = a^2 + b^2$, la nota relazione di un triangolo rettangolo.

Come funziona?

Il terzo lato deriva direttamente dal teorema del coseno:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

Estraendo la radice quadrata si ottiene $c$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

Una volta noti tutti e tre i lati, l’angolo opposto al lato $a$ si ricava riordinando lo stesso teorema:

$A = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

Poiché i tre angoli interni di qualsiasi triangolo sommano a $180°$, l’ultimo angolo segue immediatamente:

$B = 180° - A - C$

L’angolo compreso $C$ deve essere strettamente compreso tra $0°$ e $180°$, ed entrambi i lati dati devono essere positivi, affinché il triangolo esista.

Esempi risolti

Triangolo rettangolo. Con $a = 3$, $b = 4$ e $C = 90°$, il termine del coseno scompare, quindi $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Gli angoli rimanenti sono $A \approx 36.8699°$ e $B \approx 53.1301°$, ritrovando il classico triangolo 3-4-5.

Triangolo scaleno. Con $a = 5$, $b = 7$ e $C = 60°$, otteniamo $c = \sqrt{5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60°} = \sqrt{25 + 49 - 35} = \sqrt{39} \approx 6.2450$.

Note pratiche

Il teorema del coseno è più utile quando il teorema dei seni non può avviare una soluzione, in particolare nei casi lato-angolo-lato e lato-lato-lato, in cui non sono noti insieme un lato e il suo angolo opposto. Topografi, navigatori e ingegneri vi fanno affidamento per calcolare distanze attraverso una linea di base quando si possono misurare solo due lati e l’angolo tra essi.

Se invece conosci due angoli e un lato, oppure due lati e un angolo non compreso, il teorema dei seni è lo strumento più diretto. Per il caso particolare del triangolo rettangolo puoi usare anche la calcolatrice dell’ipotenusa, e per valutare il coseno dell’angolo compreso da solo, consulta la calcolatrice di trigonometria.