Calcolatrice del teorema dei seni

Che cos’è una calcolatrice del teorema dei seni?

Una calcolatrice del teorema dei seni risolve un triangolo quando conosci un angolo, il lato direttamente opposto a esso e un secondo angolo. Da questi tre valori ricava il terzo angolo e i due lati mancanti. Il teorema dei seni è la relazione che lega gli angoli di qualsiasi triangolo alle lunghezze dei lati a essi opposti, quindi funziona allo stesso modo per triangoli acutangoli, rettangoli e ottusangoli, non solo per i triangoli rettangoli.

In questa calcolatrice inserisci l’angolo $A$ in gradi, il lato $a$ (il lato opposto all’angolo $A$) e l’angolo $B$ in gradi. Restituisce l’angolo $C$, il lato $b$ e il lato $c$.

Come funziona?

Il teorema dei seni afferma che il rapporto tra ciascun lato e il seno del suo angolo opposto è lo stesso per tutti e tre i lati di un triangolo:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Poiché gli angoli interni di qualsiasi triangolo sommano a $180^\circ$, il terzo angolo segue immediatamente:

$C = 180^\circ - A - B$

Una volta noto ogni angolo e dato un lato opposto ($a$), i lati rimanenti derivano direttamente dai rapporti precedenti:

$b = \frac{a \, \sin B}{\sin A} \qquad c = \frac{a \, \sin C}{\sin A}$

Affinché queste formule descrivano un triangolo reale, sia $A$ sia $B$ devono essere positivi e la loro somma deve essere minore di $180^\circ$. Se $A + B \ge 180^\circ$ non esiste un triangolo valido, e la calcolatrice lascia vuoti i risultati.

Esempi svolti

Esempio 1: un triangolo 30-60-90

Supponiamo $A = 30^\circ$, $a = 10$ e $B = 60^\circ$. Trova prima l’angolo mancante:

$C = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

Ora applica i rapporti. Poiché $\sin 30^\circ = 0.5$, $\sin 60^\circ \approx 0.8660$ e $\sin 90^\circ = 1$:

$b = \frac{10 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 0.8660}{0.5} \approx 17.3205$

$c = \frac{10 \cdot \sin 90^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 1}{0.5} = 20$

Quindi $C = 90^\circ$, $b \approx 17.3205$ e $c = 20$.

Esempio 2: un triangolo rettangolo isoscele

Con $A = 45^\circ$, $a = 10$ e $B = 45^\circ$:

$C = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$

Poiché $\sin 45^\circ = \sin B$, il lato $b$ è uguale al lato $a$:

$b = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 45^\circ} = 10$

$c = \frac{10 \cdot \sin 90^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{0.7071} \approx 14.1421$

Il triangolo ha due lati uguali di lunghezza $10$ e un’ipotenusa di circa $14.1421$.

Note pratiche

• Inserisci entrambi gli angoli in gradi. La calcolatrice li converte internamente prima di calcolare il seno.
• Il lato noto $a$ deve essere quello opposto all’angolo noto $A$; altrimenti i rapporti non corrisponderanno.
• Questo strumento usa la configurazione angolo-angolo-lato (AAS), che produce sempre un unico triangolo. Il più insidioso “caso ambiguo” lato-lato-angolo (SSA) — in cui due triangoli diversi possono adattarsi — non è trattato qui.
• Quando invece conosci due lati e l’angolo compreso tra di essi, rivolgiti alla calcolatrice del teorema del coseno, e per il semplice seno, coseno e tangente di un singolo angolo vedi la calcolatrice di trigonometria.

Domande frequenti

Quando dovrei usare il teorema dei seni invece del teorema del coseno?

Usa il teorema dei seni quando conosci un angolo insieme al lato a esso opposto, più un altro angolo o lato (i casi AAS o ASA). Usa il teorema del coseno quando conosci due lati e l’angolo compreso, oppure tutti e tre i lati.

Il teorema dei seni funziona per i triangoli non rettangoli?

Sì. Si applica a ogni triangolo — acutangolo, rettangolo e ottusangolo. È uno degli strumenti principali per risolvere triangoli che non sono rettangoli.

Perché i miei risultati sono vuoti?

I risultati restano vuoti se un campo è mancante, se un angolo è zero o negativo, oppure se l’angolo $A$ più l’angolo $B$ è $180^\circ$ o più, perché nessun triangolo può avere quegli angoli.