Calcolatore del valore critico

Che cos’è un valore critico?

Un valore critico è il punto di taglio che separa i valori di una statistica test che portano a rifiutare l’ipotesi nulla da quelli che non lo fanno. Dopo aver scelto un livello di significatività e una direzione del test, il valore critico segna il confine della regione di rifiuto. Se la tua statistica calcolata cade oltre quel confine, il risultato è statisticamente significativo al livello scelto.

Questo calcolatore restituisce il valore critico per le quattro distribuzioni che si incontrano più spesso nei test di ipotesi: la normale standard (Z), la t di Student, la chi-quadrato e la F. Scegli la distribuzione, il tipo di test (bilaterale, coda destra o coda sinistra), il livello di significatività e i gradi di libertà quando la distribuzione li richiede.

Come funziona il calcolatore?

Ogni valore critico è un quantile della funzione di ripartizione della distribuzione. Se $F$ è la funzione di ripartizione della distribuzione scelta, la funzione quantile (inversa) $F^{-1}$ riporta una probabilità al valore che si trova in corrispondenza di quella probabilità. Il calcolatore valuta $F^{-1}$ alla probabilità determinata dal tuo livello di significatività $\alpha$ e dalla direzione del test.

Per una distribuzione simmetrica come Z o t, i tre tipi di test corrispondono a queste probabilità:

Le distribuzioni chi-quadrato e F non sono simmetriche, quindi un test bilaterale produce due limiti diversi, uno inferiore e uno superiore:

Calcolo dei quantili

Il quantile della normale standard $\Phi^{-1}$ non ha una forma chiusa, quindi il calcolatore usa un’approssimazione razionale (il metodo di Acklam), affinata da un passo di Halley, che fornisce la normale inversa in piena precisione doppia. I quantili di t, chi-quadrato e F si ottengono invertendo numericamente le loro funzioni di ripartizione, costruite a partire dalle funzioni beta e gamma incomplete regolarizzate.

Esempi svolti

1. Z, bilaterale, $\alpha = 0.05$. Distribuisci il livello di significatività su entrambe le code e valuta il quantile normale in $1 - \tfrac{0.05}{2} = 0.975$: $\Phi^{-1}(0.975) = 1.959964 \approx \pm 1.96$ La regione di rifiuto è tutto ciò che è sotto $-1.96$ o sopra $1.96$.

2. Z, coda destra, $\alpha = 0.05$. Una sola coda superiore: $\Phi^{-1}(0.95) = 1.644854 \approx 1.64$

3. t, coda destra, $d = 15$, $\alpha = 0.05$. Valuta il quantile t in $0.95$ con 15 gradi di libertà: $t^{-1}(0.95;\, 15) \approx 1.7531$ La regione di rifiuto è $(1.7531, \infty)$.

4. t, bilaterale, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. Valuta in $0.975$: $t^{-1}(0.975;\, 10) \approx \pm 2.228$

5. Chi-quadrato, bilaterale, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. I limiti inferiore e superiore provengono da $0.025$ e $0.975$: $\chi^{2-1}(0.025;\, 10) \approx 3.247 \qquad \chi^{2-1}(0.975;\, 10) \approx 20.483$

6. F, coda destra, $d = 5$, $d_2 = 10$, $\alpha = 0.05$. Con 5 gradi di libertà al numeratore e 10 al denominatore: $F^{-1}(0.95;\, 5,\, 10) \approx 3.326$

Note pratiche

• Il livello di significatività $\alpha$ deve essere strettamente compreso tra $0$ e $1$. Le scelte più comuni sono $0.10$, $0.05$ e $0.01$.
• Usa la distribuzione Z quando la deviazione standard della popolazione è nota o il campione è grande; passa alla distribuzione t per campioni piccoli con deviazione standard stimata.
• La distribuzione chi-quadrato si usa per i test sulla varianza e di bontà di adattamento, e la distribuzione F per confrontare due varianze o per l’analisi della varianza.
• I gradi di libertà modellano le distribuzioni t, chi-quadrato e F. Al crescere dei gradi di libertà della t, i suoi valori critici si avvicinano ai corrispondenti valori Z.

FAQ

Qual è la differenza tra un valore critico unilaterale e bilaterale?

Un test unilaterale colloca l’intera regione di rifiuto in una sola coda, quindi usa $F^{-1}(1 - \alpha)$ (destra) o $F^{-1}(\alpha)$ (sinistra). Un test bilaterale distribuisce $\alpha$ su entrambe le code, spingendo ogni valore critico più lontano dal centro.

Perché il valore critico chi-quadrato richiede i gradi di libertà?

La distribuzione chi-quadrato cambia forma con i suoi gradi di libertà, quindi un singolo livello di significatività corrisponde a punti di taglio diversi per gradi di libertà diversi. Lo stesso vale per le distribuzioni t e F.

Come si collega il valore critico al valore p?

Sono due facce della stessa decisione. Rifiuti l’ipotesi nulla quando la statistica test supera il valore critico, cioè esattamente quando il valore p è minore di $\alpha$.

Un valore critico può essere negativo?

Sì. Un valore critico Z o t a coda sinistra è negativo perché si trova nella coda inferiore. I valori chi-quadrato e F sono sempre non negativi, poiché queste distribuzioni sono definite solo per numeri non negativi.