Calcolatore della deviazione standard

Che cos’è un calcolatore della deviazione standard?

Un calcolatore della deviazione standard misura quanto è dispersa una serie di numeri attorno alla loro media. Inserisci i tuoi dati e il calcolatore riporta all’istante il conteggio, la media, la varianza e la deviazione standard, sia per l’interpretazione di popolazione sia per quella campionaria dei tuoi dati. Una deviazione standard piccola significa che i valori si addensano strettamente intorno alla media; una grande significa che sono ampiamente dispersi.

La deviazione standard è una delle misure di dispersione più usate in statistica. Compare ovunque, dal controllo qualità e dalla finanza (dove è spesso chiamata volatilità) all’analisi dei punteggi dei test e alla ricerca scientifica, perché esprime la variabilità nelle stesse unità dei dati originali.

Popolazione contro campione

Esistono due versioni strettamente correlate della varianza e della deviazione standard, e scegliere quella giusta è importante.

• Le statistiche di popolazione descrivono un insieme di dati completo: ogni membro che ti interessa è incluso. La varianza di popolazione divide la somma degli scarti al quadrato per il conteggio $N$, e i suoi simboli sono $\sigma^2$ (varianza) e $\sigma$ (deviazione standard).
• Le statistiche campionarie descrivono un sottoinsieme più piccolo estratto da una popolazione più grande, e vuoi stimare la dispersione di quell’intera popolazione a partire dal campione. La varianza campionaria divide per $n - 1$ anziché per $n$ (questa è nota come correzione di Bessel), il che corregge la distorsione che nasce dall’usare la media campionaria invece della vera media sconosciuta. I suoi simboli sono $s^2$ (varianza) e $s$ (deviazione standard).

Poiché dividere per il più piccolo $n - 1$ produce un risultato leggermente più grande, la deviazione standard campionaria è sempre maggiore o uguale alla deviazione standard di popolazione per gli stessi dati. La versione campionaria richiede almeno due dati; con un singolo valore non c’è alcuna dispersione da stimare.

Come funziona?

La deviazione standard di popolazione è la radice quadrata della distanza media al quadrato di ciascun valore dalla media:

dove $\mu$ è la media della popolazione e $N$ è il numero di valori. La deviazione standard campionaria usa la media campionaria $\bar{x}$ e divide per $n - 1$:

Il calcolo segue quattro passi:

1. Trova la media sommando tutti i valori e dividendo per quanti sono.
2. Trova ogni scarto sottraendo la media da ciascun valore.
3. Eleva al quadrato ogni scarto e somma i quadrati.
4. Dividi per $N$ (popolazione) o $n - 1$ (campione), poi prendi la radice quadrata per ottenere la deviazione standard. Saltare la radice quadrata ti lascia con la varianza.

Esempio svolto

Considera l’insieme di dati $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$, che ha $N = 8$ valori.

Prima, la media:

Poi, gli scarti al quadrato dalla media di $5$ sono $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$, la cui somma è $32$. La varianza e la deviazione standard di popolazione sono:

Trattando gli stessi numeri come un campione, dividi la somma dei quadrati per $n - 1 = 7$:

Come previsto, la deviazione standard campionaria $2.1381$ è maggiore della deviazione standard di popolazione $2$.

Per un insieme più piccolo come $1, 2, 3, 4, 5$, la media è $3$, la somma degli scarti al quadrato è $10$, la deviazione standard di popolazione è $\sqrt{2} \approx 1.4142$ e la deviazione standard campionaria è $\sqrt{2.5} \approx 1.5811$.

Note pratiche

Usa la formula di popolazione quando i tuoi numeri rappresentano l’intero gruppo che stai analizzando, per esempio i punteggi dei test di ogni studente di una singola classe quando quella classe è tutto ciò che ti interessa. Usa la formula campionaria quando i tuoi numeri sono un sottoinsieme usato per dedurre qualcosa su un gruppo più grande, il caso comune in sondaggi, esperimenti e nella maggior parte delle statistiche del mondo reale.

La deviazione standard si abbina naturalmente con la media e con le stime per intervalli come l’intervallo di confidenza, che usa la deviazione standard e la dimensione del campione per delimitare la vera media. È inoltre alla base dei valori critici usati nei test di ipotesi.

Domande frequenti

Qual è la differenza tra varianza e deviazione standard?

La varianza è la media degli scarti al quadrato dalla media, espressa in unità al quadrato. La deviazione standard è la radice quadrata della varianza, che riporta la misura alle unità originali dei dati e la rende più facile da interpretare.

Dovrei usare la deviazione standard di popolazione o campionaria?

Usa la versione di popolazione ($\sigma$, dividere per $N$) quando i tuoi dati coprono l’intero gruppo di interesse. Usa la versione campionaria ($s$, dividere per $n - 1$) quando i tuoi dati sono un campione di una popolazione più grande e vuoi una stima non distorta della dispersione di quella popolazione.

La deviazione standard può essere zero o negativa?

Può essere zero, il che accade solo quando ogni valore dell’insieme di dati è identico: non c’è alcuna dispersione. Non può mai essere negativa, perché è la radice quadrata di una somma di termini al quadrato (non negativi).