組み合わせ計算機

組み合わせ計算機とは？

組み合わせ計算機は、選ぶ順序が問題にならない場合に、より大きな集合からどれだけの異なる方法で項目のグループを選べるかを求めます。この量は組み合わせの数と呼ばれ、${}^{n}C_{r}$、「n個からr個を選ぶ」、あるいは二項係数 $\binom{n}{r}$ と書かれます。ここで $n$ は利用可能な項目の総数、$r$ はそのうち選ぶ個数です。

組み合わせは、選んだ順序ではなく、どの項目が一緒になるかだけが重要な場合に必ず現れます。5種類のトッピングから2種類を選ぶと、どのトッピングを先に挙げても同じピザになるので、これは組み合わせの問題です。順序が重要であれば、代わりに順列を数えることになります。

どのように機能するのか？

項目の総数 $n$ と選びたい個数 $r$ を入力すると、計算機は即座に ${}^{n}C_{r}$ を返します。どちらの値も整数でなければならず、$r$ は $n$ より大きくできません — 持っている数より多くの項目を選ぶことはできないからです。$r > n$ の場合、またはいずれかの欄が空のままの場合、結果は空白のままになります。

公式

組み合わせの数は二項係数で与えられます：

${}^{n}C_{r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

ここで $n!$（n の階乗）は $n$ までのすべての正の整数の積であり、したがって $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ となります。慣例により $0! = 1$ であり、これが、ゼロ個を選ぶこと、またはすべてを選ぶことが常にちょうど1通りの組み合わせになる理由です。

いくつかの便利な恒等式が公式から直接導かれます：

1. $\binom{n}{0} = 1$ — 何も選ばない方法は1通りです。
2. $\binom{n}{n} = 1$ — すべてを選ぶ方法は1通りです。
3. $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ — 残す $r$ 個を選ぶことは、除外する $n-r$ 個を選ぶことと同じです。

計算例

1. 例1: 5個から2個を選ぶ。$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$。
2. 例2: 10個から3個を選ぶ。$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\,7!} = \frac{3628800}{6 \times 5040} = 120$。
3. 例3: 5個から5個すべてを選ぶ。$\binom{5}{5} = \frac{5!}{5!\,0!} = 1$。
4. 例4: 5個から0個を選ぶ。$\binom{5}{0} = \frac{5!}{0!\,5!} = 1$。

実用上の注意

• 組み合わせは順序のない選択を数えます。配置が重要な場合 — 例えば人を一列に座らせる場合 — には順列を使い、${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ となります。
• 階乗のために値は急速に大きくなるので、控えめな入力でも非常に大きな数になることがあります。
• 組み合わせは確率、二項分布、宝くじの当選確率、カードの手札の数え上げ、組み合わせ設計の問題の基礎となっています。

よくある質問

組み合わせと順列の違いは何ですか？

組み合わせでは選んだ項目の順序は問題にならないので、$\{A, B\}$ と $\{B, A\}$ は1つの選択として数えられます。順列では順序が重要なので、2つとして数えられます。その結果、同じ $n$ と $r$ に対して、順列は常に少なくとも組み合わせと同じだけ存在します。

なぜ0個を選ぶことが1になるのですか？

$0! = 1$ なので、公式は $\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!\,n!} = 1$ を与えます。直感的には、何も選ばない方法はちょうど1通り — 空の選択 — だからです。

r は n より大きくできますか？

いいえ。集合に存在する数より多くの項目を選ぶことはできないので、$\binom{n}{r}$ は $0 \le r \le n$ に対してのみ定義されます。この計算機は $r > n$ のとき空白の結果を返します。