階乗計算機

階乗計算機とは何ですか？

階乗計算機は、非負整数の階乗を求めるもので、$n!$と書き、「nの階乗」と読みます。階乗は、$1$から$n$までを含むすべての正の整数の積です。$n$の値を入力すると、計算機はすぐに$n!$を返します。

階乗は非常に速く増加します。$5!$はすでに$120$であり、$10!$は300万を超えます。この急速な増加のため、階乗は、オブジェクトを並べる方法の数を数える必要があるときには常に、組合せ論、確率、代数、微積分のいたるところに現れます。

どのように機能しますか？

階乗は、$n$までのすべての正の整数の積として定義されます。

$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

重要な特殊なケースが1つあります。ゼロの階乗は1に等しいと定義されます。

$0! = 1$

これは偶然でも、後から付け加えられた例外でもありません。ゼロ個のオブジェクトを並べる方法はちょうど1通り（空の並べ方）しかないため、$0! = 1$とすることで数え上げの公式の整合性が保たれます。また、再帰的な規則$n! = n \times (n-1)!$からも導かれます。$n = 1$とすると$1! = 1 \times 0!$となり、これは$0! = 1$の場合にのみ成り立ちます。

階乗は非負整数に対してのみ定義されます。負の数や$2.5$のような分数には通常の階乗が存在しないため、計算機はそのような入力に対して結果を空白のままにします。（ガンマ関数はこの考え方を他の数にまで拡張しますが、それは基本的な階乗の範囲を超えます。）

計算例

• $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
• $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
• $10! = 10 \times 9 \times 8 \times \cdots \times 2 \times 1 = 3{,}628{,}800$
• $1! = 1$
• $0! = 1$

再帰的なショートカットが働いていることに注目してください。$5! = 120$がわかれば、$6!$の計算は単に$6 \times 120 = 720$であり、$10!$も同じように一歩ずつ積み上げられます。

実用的な注意点

階乗は、順列と組合せの背後にあるエンジンです。$n$個の異なる項目を順番に並べる方法の数は$n!$であり、順列$P(n, r)$と組合せ$C(n, r)$の公式はどちらも階乗を用いて表されます。並べ方や選び方を数える場合は、https://www.mega-calculator.com/ja/math/permutations/ の順列計算機と、https://www.mega-calculator.com/ja/math/combinations/ の組合せ計算機をご覧ください。

階乗は急激に大きくなるため、この計算機は$170$までの値を受け付けます。それを超えると、$n!$は標準的なコンピュータの数値が表現できる最大の有限値を超えるため、結果は無限大として報告されるのではなく空白のままになります。日常的な数え上げや確率の作業には、その範囲で十分すぎるほどです。