順列計算機

順列計算機とは何ですか？

順列計算機は、$n$ 個の異なる項目からなる大きな集合から $r$ 個の項目を選ぶことで作成できる、異なる順序付きの並べ方が何通りあるかを教えてくれます。順序が重要なので、項目 A を選んでから B を選ぶことは、B を選んでから A を選ぶこととは別にカウントされます。

順列は、シーケンスを数える必要があるときにいつでも現れます。ランナーに金、銀、銅のメダルを割り当てる、クラブから会長、副会長、会計を選ぶ、あるいは何通りの異なるパスワードや PIN の並びが可能かを計算する、といった場面です。

どのように機能しますか？

項目の総数 $n$ と、並べたい数 $r$ を入力します。計算機は標準的な順列の公式を評価し、結果を即座に返します。整数で非負の数を期待し、$r \le n$ を必要とします — 持っている数より多くの項目を並べることはできません。

$n$ から取り出した $r$ 個の項目の順列の数は次のとおりです：

${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$

ここで $n!$（「n 階乗」と読みます）は $n$ までのすべての正の整数の積であり、定義により $0! = 1$ です。組み合わせとは異なり、順列は同じ選択の異なる順序を区別します。

使用例

• n = 5, r = 2. ${}^{5}P_{2} = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$ 個の順序付きペア。
• n = 10, r = 3. ${}^{10}P_{3} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$ 通りの並べ方。
• n = 5, r = 5. ${}^{5}P_{5} = \frac{5!}{0!} = 120$、これは単に $5!$ です — 5 つすべての項目のあらゆる完全な順序付け。
• n = 5, r = 0. ${}^{5}P_{0} = \frac{5!}{5!} = 1$、唯一の「空の」並べ方。

$r > n$ を要求した場合 — 例えば $n = 3$ かつ $r = 5$ — 有効な並べ方が存在しないため、結果は空白のままになります。

実用上の注意

順序が重要でない場合は、代わりに組み合わせが必要です。これは、重複する順序を取り除くために順列の数を $r!$ で割ります。両者の構成要素は階乗であり、これらの数の増加は、指数計算機で探求される繰り返しの乗算と密接に関連しています。

階乗は非常に速く増加するため、順列の数は膨大になり得ます：${}^{20}P_{20} = 20!$ はすでに $2.4 \times 10^{18}$ を超えています。大きな $n$ の場合、結果は浮動小数点精度によって制限される近似値です。