等しい分数の計算機

等しい分数の計算機とは？

等しい分数の計算機は、ある分数を受け取り、まったく同じ値を表しながら異なる数で書かれた別の分数を生成します。2つの分数は、それらが全体の同じ部分を表すとき等しくなります。1/2、2/4、3/6 は数字の見た目は違っても、すべて同じ量を指します。このツールは、入力した分数をスケーリングして等しい分数を作り、また元の分数の最簡形も表示します。

どのように機能しますか？

等しい分数を作るには、分子と分母の両方を同じゼロでない数、すなわち乗数で掛けます。上と下を同じ係数でスケーリングしても全体の値は変わりません。なぜなら、実際には分数を $\tfrac{3}{3}$ のような 1 を変装させた形で掛けているからです。

分子 $n$、分母 $d$、乗数 $m$ が与えられたとき、等しい分数は次のようになります：

$$\frac{n}{d} = \frac{n \times m}{d \times m}$$

最簡形は同じ考え方を逆向きに実行します。掛ける代わりに、分子と分母を、両方を正確に割り切る最大の整数である最大公約数（GCD）で割ります：

$$\frac{n}{d} = \frac{n \div \gcd(n, d)}{d \div \gcd(n, d)}$$

GCDはユークリッドの互除法で計算され、余りがゼロになるまで、大きい方の数を小さい方で割った余りに繰り返し置き換えます。

計算機の使い方

1. 開始分数の分子を入力します。
2. 分母を入力します。
3. 分数を拡大するための乗数（2以上）を選びます。
4. 一緒にスケーリングされた分数を形成する等しい分子と等しい分母を読み取ります。
5. 元の分数を既約形で見るために、約分後の分子と約分後の分母を読み取ります。

計算例

1/2 と乗数 3 から始めます。上と下に 3 を掛けると次のようになります：

$$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$$

1 と 2 は 1 以外の共通因数を持たないため、元の分数の最簡形は依然として 1/2 です。

次に、乗数 2 で 2/4 を取り上げます。スケーリングすると等しい分数が得られます：

$$\frac{2}{4} = \frac{2 \times 2}{4 \times 2} = \frac{4}{8}$$

2 と 4 のGCDは 2 なので、元の分数の最簡形は次のようになります：

$$\frac{2}{4} = \frac{2 \div 2}{4 \div 2} = \frac{1}{2}$$

最後の例として、分数 3/9 はGCD 3 を使って約分されます：

$$\frac{3}{9} = \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}$$

実用的な注意点

等しい分数は、共通の分母が必要なときにはいつでも欠かせません。例えば、分母の異なる分数を足したり比較したりするときです。各分数を同じ分母を共有するようにスケーリングすると、分子を直接扱えるようになります。一方、最簡形は結果を報告する最もすっきりした方法を与え、2つの答えが実際には同じであることを認識しやすくします。

分数を約分するだけでよい場合、分数の約分計算機と分数を簡約するツールはそのステップに焦点を当て、一方分数を小数に計算機は分数をその小数値に変換します。

よくある質問

なぜ乗数は2以上でなければならないのですか？ 乗数 1 は同じ分数を返し、0 はそれを 0/0 に潰してしまいます。2 以上の整数を使うと、本当に異なるが等しい分数が保証されます。

掛けることで分数の値は変わりますか？ いいえ。分子と分母を同じゼロでない数で掛けることは 1 を掛けることに等しいので、書かれた形は変わっても値は保たれます。

分数がすでに既約形の場合はどうなりますか？ その場合、約分された結果は入力と等しくなります。例えば、1 と 2 のGCDは 1 なので、1/2 は 1/2 のままです。