余弦定理計算機

余弦定理計算機とは？

余弦定理計算機は、三角形の2辺とその間の角が分かっているとき（「2辺夾角」の場合）に三角形を解きます。辺$a$、辺$b$、および夾角$C$を入力すると、計算機は3辺目$c$の長さと、残りの2つの角$A$と$B$を返します。

余弦定理はピタゴラスの定理を一般化したものです。夾角がちょうど$90°$のとき、余弦の項は消え、公式は直角三角形でおなじみの関係$c^2 = a^2 + b^2$に戻ります。

計算機の仕組みは？

3辺目は余弦定理から直接得られます。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

平方根を取ると$c$が得られます。

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

3辺すべてが分かれば、辺$a$の対角は同じ定理を変形して求められます。

$A = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

どんな三角形でも3つの内角の和は$180°$なので、最後の角はすぐに求まります。

$B = 180° - A - C$

三角形が存在するためには、夾角$C$は$0°$と$180°$の間に厳密に収まり、与えられた両辺はともに正でなければなりません。

計算例

直角三角形。 $a = 3$、$b = 4$、$C = 90°$のとき、余弦の項が消えるので$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$となります。残りの角は$A \approx 36.8699°$と$B \approx 53.1301°$で、おなじみの3-4-5の三角形が得られます。

斜三角形。 $a = 5$、$b = 7$、$C = 60°$のとき、$c = \sqrt{5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60°} = \sqrt{25 + 49 - 35} = \sqrt{39} \approx 6.2450$が得られます。

実用上の注意

余弦定理は、正弦定理では解き始められないとき、すなわち1辺とその対角が同時には分からない2辺夾角や3辺の場合に最も役立ちます。測量士、航海士、技術者は、2つの脚とその間の角しか測定できないときに基線をまたぐ距離を計算するためにこれを利用します。

代わりに2つの角と1辺、または2辺と挟まれていない角が分かっている場合は、正弦定理がより直接的なツールです。直角三角形という特別な場合には斜辺計算機も使えます。また、夾角の余弦そのものを評価するには、三角関数計算機をご覧ください。