正弦定理計算機

正弦定理計算機とは？

正弦定理計算機は、1つの角度、その真向かいの辺、そして2つ目の角度が分かっているときに三角形を解きます。これら3つの値から、3つ目の角度と残り2辺を導き出します。正弦定理は、任意の三角形の角度とそれらに対する辺の長さを結びつける関係であり、直角三角形だけでなく、鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形にも同様に成り立ちます。

この計算機では、角度$A$を度で、辺$a$（角度$A$の対辺）を、そして角度$B$を度で入力します。角度$C$、辺$b$、辺$c$を返します。

どのように機能しますか？

正弦定理は、各辺とその対角のサインとの比が、三角形の3辺すべてで等しいことを述べています。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

任意の三角形の内角の和は$180^\circ$なので、3つ目の角度はただちに求まります。

$C = 180^\circ - A - B$

すべての角度が分かり、対辺の1つ（$a$）が与えられると、残りの辺は上記の比から直接得られます。

$b = \frac{a \, \sin B}{\sin A} \qquad c = \frac{a \, \sin C}{\sin A}$

これらの式が実際の三角形を表すためには、$A$と$B$の両方が正であり、その和が$180^\circ$未満でなければなりません。$A + B \ge 180^\circ$の場合、有効な三角形は存在せず、計算機は結果を空白のままにします。

計算例

例1：30-60-90の三角形

$A = 30^\circ$、$a = 10$、$B = 60^\circ$とします。まず欠けている角度を求めます。

$C = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

次に比を適用します。$\sin 30^\circ = 0.5$、$\sin 60^\circ \approx 0.8660$、$\sin 90^\circ = 1$なので、

$b = \frac{10 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 0.8660}{0.5} \approx 17.3205$

$c = \frac{10 \cdot \sin 90^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 1}{0.5} = 20$

したがって$C = 90^\circ$、$b \approx 17.3205$、$c = 20$です。

例2：直角二等辺三角形

$A = 45^\circ$、$a = 10$、$B = 45^\circ$の場合、

$C = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$

$\sin 45^\circ = \sin B$なので、辺$b$は辺$a$に等しくなります。

$b = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 45^\circ} = 10$

$c = \frac{10 \cdot \sin 90^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{0.7071} \approx 14.1421$

この三角形は長さ$10$の等しい2辺と、約$14.1421$の斜辺を持ちます。

実用上の注意

• 両方の角度を度で入力してください。計算機はサインを取る前に内部で変換します。
• 既知の辺$a$は、既知の角度$A$の対辺でなければなりません。そうでないと比が一致しません。
• このツールは角-角-辺（AAS）の構成を用いており、常に1つの三角形を生成します。2つの異なる三角形が当てはまり得る、より厄介な辺-辺-角（SSA）の「あいまいな場合」はここでは扱いません。
• 代わりに2辺とその間の角度が分かっている場合は、余弦定理計算機を使い、単一の角度の単純なサイン、コサイン、タンジェントについては三角関数計算機を参照してください。

よくある質問

余弦定理ではなく正弦定理を使うべきなのはいつですか？

ある角度とその対辺、さらにもう1つの角度または辺が分かっているとき（AASまたはASAの場合）には正弦定理を使います。2辺とその間の角度、または3辺すべてが分かっているときには余弦定理を使います。

正弦定理は直角三角形でない場合にも使えますか？

はい。あらゆる三角形——鋭角、直角、鈍角——に適用できます。直角三角形でない三角形を解くための主要な道具の1つです。

なぜ結果が空白なのですか？

フィールドが欠けている場合、角度がゼロまたは負の場合、あるいは角度$A$と角度$B$の和が$180^\circ$以上の場合、結果は空白のままになります。そのような角度を持つ三角形は存在しないからです。