臨界値計算機

臨界値とは何ですか？

臨界値とは、帰無仮説を棄却することになる検定統計量の値と、棄却しない値とを分ける境界点です。有意水準と検定の方向を選ぶと、臨界値は棄却域の縁を示します。計算した統計量がその縁を越えた場合、結果は選んだ水準で統計的に有意となります。

この計算機は、仮説検定で最もよく使われる4つの分布について臨界値を返します。標準正規分布（Z）、スチューデントの t 分布、カイ二乗分布、F 分布です。分布、検定の種類（両側、右側、左側）、有意水準、そして分布が必要とする場合は自由度を選んでください。

計算機はどのように動作しますか？

すべての臨界値は、その分布の累積分布関数の分位点です。$F$ が選んだ分布の累積分布関数であるとき、分位点（逆）関数 $F^{-1}$ は確率を、その確率に位置する値へ戻します。計算機は、有意水準 $\alpha$ と検定の方向によって定まる確率で $F^{-1}$ を評価します。

Z や t のような対称分布では、3種類の検定は次の確率に対応します。

$$\text{right-tailed: } F^{-1}(1 - \alpha) \qquad \text{left-tailed: } F^{-1}(\alpha) \qquad \text{two-tailed: } \pm F^{-1}\left(1 - \tfrac{\alpha}{2}\right)$$

カイ二乗分布と F 分布は対称ではないため、両側検定では下側と上側の2つの異なる境界が得られます。

$$\text{lower: } F^{-1}\left(\tfrac{\alpha}{2}\right) \qquad \text{upper: } F^{-1}\left(1 - \tfrac{\alpha}{2}\right)$$

分位点の計算

標準正規分位点 $\Phi^{-1}$ には閉じた形がないため、計算機は有理近似（Acklam 法）を用い、Halley のステップで精緻化して、逆正規を倍精度の完全な精度で求めます。t、カイ二乗、F の分位点は、正則化された不完全ベータ関数とガンマ関数から構成される累積分布関数を数値的に反転して求めます。

計算例

1. Z、両側、$\alpha = 0.05$。 有意水準を両側に分け、正規分位点を $1 - \tfrac{0.05}{2} = 0.975$ で評価します。 $\Phi^{-1}(0.975) = 1.959964 \approx \pm 1.96$ 棄却域は $-1.96$ より下、または $1.96$ より上のすべてです。

2. Z、右側、$\alpha = 0.05$。 上側の片側のみ。 $\Phi^{-1}(0.95) = 1.644854 \approx 1.64$

3. t、右側、$d = 15$、$\alpha = 0.05$。 自由度15で t 分位点を $0.95$ で評価します。 $t^{-1}(0.95;\, 15) \approx 1.7531$ 棄却域は $(1.7531, \infty)$ です。

4. t、両側、$d = 10$、$\alpha = 0.05$。 $0.975$ で評価します。 $t^{-1}(0.975;\, 10) \approx \pm 2.228$

5. カイ二乗、両側、$d = 10$、$\alpha = 0.05$。 下側と上側の境界は $0.025$ と $0.975$ から得られます。 $\chi^{2-1}(0.025;\, 10) \approx 3.247 \qquad \chi^{2-1}(0.975;\, 10) \approx 20.483$

6. F、右側、$d = 5$、$d_2 = 10$、$\alpha = 0.05$。 分子の自由度5、分母の自由度10で。 $F^{-1}(0.95;\, 5,\, 10) \approx 3.326$

実用的な注意点

• 有意水準 $\alpha$ は厳密に $0$ と $1$ の間でなければなりません。一般的な選択は $0.10$、$0.05$、$0.01$ です。
• 母標準偏差が既知の場合や標本が大きい場合は Z 分布を使い、標準偏差を推定した小標本では t 分布に切り替えます。
• カイ二乗分布は分散の検定や適合度検定に、F 分布は2つの分散の比較や分散分析に使われます。
• 自由度は t、カイ二乗、F の各分布の形を決めます。t の自由度が大きくなると、その臨界値は対応する Z の値に近づきます。

よくある質問

片側臨界値と両側臨界値の違いは何ですか？

片側検定は棄却域全体を片方の裾に置くため、$F^{-1}(1 - \alpha)$（右）または $F^{-1}(\alpha)$（左）を使います。両側検定は $\alpha$ を両裾に分けるため、各臨界値が中心からより遠くへ押し出されます。

なぜカイ二乗の臨界値には自由度が必要なのですか？

カイ二乗分布は自由度によって形が変わるため、同じ有意水準でも自由度が異なれば異なる境界点に対応します。同じことが t 分布と F 分布にも当てはまります。

臨界値は p 値とどう関係しますか？

両者は同じ判断の表裏です。検定統計量が臨界値を超えたとき帰無仮説を棄却しますが、これは p 値が $\alpha$ より小さいときと一致します。

臨界値は負になり得ますか？

はい。左側の Z または t の臨界値は下側の裾にあるため負になります。カイ二乗と F の値は常に非負です。これらの分布は非負の数に対してのみ定義されるためです。