원의 활꼴 넓이 계산기

원의 활꼴이란 무엇입니까?

원의 활꼴은 현과 그 현이 잘라내는 호로 둘러싸인 원판의 영역입니다. 완전한 파이 조각(섹터)을 상상한 다음, 호의 양 끝점을 중심과 연결하는 삼각형 쐐기를 제거하십시오 — 남은 것이 활꼴입니다. 그것은 현과 호 사이에 자리 잡은 곡선 모양의 “캡”입니다.

활꼴은 두 가지 값에 의해 결정됩니다: 원의 반지름 $r$ 과 중심에서 현이 만드는 중심각 $\theta$ 입니다. 각도는 도, 라디안 또는 그래디언으로 지정할 수 있으며, 이 계산기는 내부적으로 변환을 수행합니다.

주요 개념

• 반지름 (r) — 원의 중심에서 경계 위의 한 점까지의 거리.
• 중심각 (θ) — 현의 양 끝점으로 그려진 두 반지름에 의해 중심에서 형성되는 각도.
• 현 — 호의 양 끝점을 연결하는 직선.
• 호 — 활꼴의 곡선 경계로, 현의 반대편에 있는 것.
• 섹터 — 호와 두 반지름으로 둘러싸인 파이 조각 모양의 영역.
• 삼각형 — 두 변이 $r$ 과 같고 그 사이 각이 $\theta$ 인 이등변 삼각형.

계산기는 어떻게 작동합니까?

활꼴은 섹터에서 삼각형을 제거하고 남은 것입니다:

$$A_{\text{segment}} = A_{\text{sector}} - A_{\text{triangle}}$$

$\theta$ 가 라디안일 때 섹터의 넓이는 $\frac{1}{2} r^2 \theta$ 이고, 두 반지름으로 형성되는 이등변 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2} r^2 \sin\theta$ 입니다. 한 값에서 다른 값을 빼면 표준 공식이 나옵니다.

공식

$\theta$ 가 라디안일 때:

$$A = \frac{r^2}{2} \bigl(\theta - \sin\theta\bigr)$$

$\theta$ 가 도로 주어진 경우, 먼저 $\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$ 으로 라디안으로 변환한 후 공식에 대입합니다.

계산 예시

예시 1: 작은 활꼴, 60°

반지름이 10 cm인 원이 있습니다. 현은 중심각 60°를 잘라냅니다.

변환: $\theta_{\text{rad}} = 60° \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472$.

$$A = \frac{10^2}{2} \left( \frac{\pi}{3} - \sin 60° \right) = 50 \cdot (1.0472 - 0.8660) \approx 9.0586 \text{ cm}^2$$

예시 2: 반원, π 라디안

반지름이 5 cm이고 중심각이 $\pi$ 라디안(180°)일 때, 현은 지름이 되며 활꼴은 정확히 원판의 절반이 됩니다:

$$A = \frac{5^2}{2} \bigl(\pi - \sin\pi\bigr) = \frac{25}{2} \cdot \pi \approx 39.270 \text{ cm}^2$$

예시 3: 사분원에서 삼각형을 뺀 경우, 90°

반지름이 10 cm이고 중심각이 90°일 때:

$$A = \frac{10^2}{2} \left( \frac{\pi}{2} - \sin 90° \right) = 50 \cdot \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) \approx 28.5398 \text{ cm}^2$$

이는 직관과 일치합니다: 사분 섹터의 넓이는 $25\pi \approx 78.54$ cm², 직각 삼각형의 넓이는 $50$ cm², 그 차이가 활꼴입니다.

실용적 응용

• 엔지니어링 — 유체 흐름 문제를 위해 부분적으로 채워진 원형 탱크나 파이프의 단면적 계산(일부만 채워진 경우 원의 넓이 계산기가 사용하는 것과 동일한 계산입니다).
• 건설 및 건축 — 창문, 아치 및 원의 곡선형 캡이 디자인 요소가 되는 음각 디테일의 치수 결정.
• 제조 — 원형 캡 모양의 스탬프, 절단 또는 기계 가공된 부품에 대한 자재 견적.
• 토목 공학 — 가득 차지 않은 원형 채널 단면의 토공량 추정.
• 기하학 및 삼각법 — 원의 섹터 넓이 계산기 및 현의 길이 계산기와의 관계 검증.

주의사항

• 각도는 양수여야 합니다. 0° 각도는 넓이가 0인 퇴화된 활꼴을 만듭니다.
• $\theta = 2\pi$ (360°)일 때 공식은 전체 원의 넓이를 반환합니다.
• “작은” 활꼴은 180° 미만의 각도에 해당합니다. 180°를 초과하는 각도의 경우, 공식은 중심을 포함하는 더 큰 “큰” 활꼴을 제공합니다.
• 반지름과 넓이의 단위는 일치해야 합니다: 미터 단위의 반지름은 제곱미터 단위의 넓이를 생성합니다. 단위 선택기를 전환하면 결과가 자동으로 재변환됩니다.
• 결과는 $\pi$ 와 사인 함수의 정밀도까지 정확하며, 반올림 오차는 일상적인 사용에 무시할 수 있습니다.