조합 계산기

조합 계산기란 무엇인가요?

조합 계산기는 선택 순서가 중요하지 않을 때 더 큰 집합에서 항목 그룹을 선택할 수 있는 서로 다른 방법의 수를 계산합니다. 이 값은 조합의 수라고 하며, ${}^{n}C_{r}$, “n개에서 r개 선택”, 또는 이항 계수 $\binom{n}{r}$ 로 표기합니다. 여기서 $n$ 은 사용 가능한 전체 항목 수이고 $r$ 은 그중 선택하는 개수입니다.

조합은 선택한 순서가 아니라 어떤 항목이 함께 모이는지에만 신경 쓸 때 나타납니다. 5가지 토핑 중 2가지를 고르면 어떤 토핑을 먼저 말하든 같은 피자가 되므로 이는 조합 문제입니다. 순서가 중요하다면 대신 순열을 세게 됩니다.

어떻게 작동하나요?

전체 항목 수 $n$ 과 선택하려는 개수 $r$ 을 입력하면 계산기가 즉시 ${}^{n}C_{r}$ 을 반환합니다. 두 값 모두 정수여야 하며, $r$ 은 $n$ 보다 클 수 없습니다 — 가진 것보다 더 많은 항목을 선택할 수는 없기 때문입니다. $r > n$ 이거나 어느 한 필드가 비어 있으면 결과는 빈 상태로 유지됩니다.

공식

조합의 수는 이항 계수로 주어집니다:

${}^{n}C_{r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

여기서 $n!$ (n 팩토리얼)은 $n$ 까지의 모든 양의 정수의 곱이므로 $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 입니다. 관례에 따라 $0! = 1$ 이며, 이것이 0개를 선택하거나 전부를 선택할 때 항상 정확히 하나의 조합이 되는 이유입니다.

몇 가지 유용한 항등식이 공식에서 직접 도출됩니다:

1. $\binom{n}{0} = 1$ — 아무것도 선택하지 않는 방법은 한 가지입니다.
2. $\binom{n}{n} = 1$ — 전부를 선택하는 방법은 한 가지입니다.
3. $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ — 남길 $r$ 개를 선택하는 것은 제외할 $n-r$ 개를 선택하는 것과 같습니다.

풀이 예제

1. 예제 1: 5개에서 2개 선택. $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$.
2. 예제 2: 10개에서 3개 선택. $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\,7!} = \frac{3628800}{6 \times 5040} = 120$.
3. 예제 3: 5개에서 5개 모두 선택. $\binom{5}{5} = \frac{5!}{5!\,0!} = 1$.
4. 예제 4: 5개에서 0개 선택. $\binom{5}{0} = \frac{5!}{0!\,5!} = 1$.

실용적인 참고 사항

• 조합은 순서가 없는 선택을 셉니다. 배열이 중요하다면 — 예를 들어 사람들을 한 줄로 앉히는 경우 — 순열을 사용하며, ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ 입니다.
• 팩토리얼 때문에 값이 빠르게 커지므로 적당한 입력값으로도 매우 큰 수가 나올 수 있습니다.
• 조합은 확률, 이항 분포, 복권 당첨 확률, 카드 패 세기, 조합 설계 문제의 기초가 됩니다.

자주 묻는 질문

조합과 순열의 차이는 무엇인가요?

조합에서는 선택한 항목의 순서가 중요하지 않으므로 $\{A, B\}$ 와 $\{B, A\}$ 는 하나의 선택으로 셉니다. 순열에서는 순서가 중요하므로 둘로 셉니다. 그 결과 같은 $n$ 과 $r$ 에 대해 순열은 항상 조합만큼 또는 그 이상으로 많습니다.

왜 0개를 선택하는 것이 1과 같나요?

$0! = 1$ 이므로 공식은 $\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!\,n!} = 1$ 을 줍니다. 직관적으로, 아무것도 선택하지 않는 방법은 정확히 하나 — 빈 선택 — 입니다.

r 이 n 보다 클 수 있나요?

아니요. 집합에 존재하는 것보다 더 많은 항목을 선택할 수는 없으므로 $\binom{n}{r}$ 은 $0 \le r \le n$ 에 대해서만 정의됩니다. 이 계산기는 $r > n$ 일 때 빈 결과를 반환합니다.