팩토리얼 계산기

팩토리얼 계산기란 무엇인가요?

팩토리얼 계산기는 음이 아닌 정수의 팩토리얼을 구하며, $n!$로 쓰고 “n 팩토리얼”이라고 읽습니다. 팩토리얼은 $1$부터 $n$까지(포함) 모든 양의 정수의 곱입니다. $n$의 값을 입력하면 계산기가 즉시 $n!$을 반환합니다.

팩토리얼은 매우 빠르게 증가합니다. $5!$은 이미 $120$이고, $10!$은 300만을 넘습니다. 이러한 급격한 증가 때문에, 팩토리얼은 객체를 배열하는 경우의 수를 세야 할 때마다 조합론, 확률, 대수학, 미적분학 전반에 걸쳐 나타납니다.

어떻게 작동하나요?

팩토리얼은 $n$까지의 모든 양의 정수의 곱으로 정의됩니다.

$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

한 가지 중요한 특수한 경우가 있습니다. 0의 팩토리얼은 1과 같다고 정의됩니다.

$0! = 1$

이것은 우연이거나 나중에 덧붙여진 예외가 아닙니다. 0개의 객체를 배열하는 방법은 정확히 한 가지(빈 배열)뿐이므로, $0! = 1$은 계수 공식을 일관되게 유지합니다. 또한 재귀 규칙 $n! = n \times (n-1)!$에서도 유도됩니다. $n = 1$로 두면 $1! = 1 \times 0!$이 되는데, 이는 $0! = 1$일 때만 성립합니다.

팩토리얼은 음이 아닌 정수에 대해서만 정의됩니다. 음수나 $2.5$와 같은 분수에는 일반적인 팩토리얼이 없으므로, 계산기는 그러한 입력에 대해 결과를 비워 둡니다. (감마 함수는 이 개념을 다른 수로 확장하지만, 그것은 기본 팩토리얼의 범위를 벗어납니다.)

풀이 예제

• $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
• $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
• $10! = 10 \times 9 \times 8 \times \cdots \times 2 \times 1 = 3{,}628{,}800$
• $1! = 1$
• $0! = 1$

재귀적 지름길이 작동하는 것에 주목하세요. $5! = 120$임을 알고 나면, $6!$을 계산하는 것은 단지 $6 \times 120 = 720$이며, $10!$도 같은 방식으로 한 단계씩 만들어집니다.

실용적인 참고 사항

팩토리얼은 순열과 조합의 엔진입니다. $n$개의 서로 다른 항목을 순서대로 배열하는 경우의 수는 $n!$이며, 순열 $P(n, r)$과 조합 $C(n, r)$의 공식은 모두 팩토리얼로 표현됩니다. 배열이나 선택을 세고 있다면, https://www.mega-calculator.com/ko/math/permutations/ 의 순열 계산기와 https://www.mega-calculator.com/ko/math/combinations/ 의 조합 계산기를 참고하세요.

팩토리얼은 크기가 폭발적으로 커지기 때문에, 이 계산기는 $170$까지의 값을 받습니다. 그 지점을 넘어가면 $n!$은 표준 컴퓨터 숫자가 나타낼 수 있는 가장 큰 유한 값을 초과하므로, 결과는 무한대로 보고되는 대신 비워 둡니다. 일상적인 계수 및 확률 작업에는 그 범위로 충분하고도 남습니다.