순열 계산기

순열 계산기란 무엇인가?

순열 계산기는 $n$개의 서로 다른 항목으로 이루어진 더 큰 집합에서 $r$개의 항목을 선택하여 만들 수 있는 서로 다른 순서가 있는 배열의 수를 알려줍니다. 순서가 중요하기 때문에, 항목 A를 고른 다음 B를 고르는 것은 B를 고른 다음 A를 고르는 것과 별도로 계산됩니다.

순열은 수열을 세야 할 때마다 등장합니다: 달리기 주자에게 금메달, 은메달, 동메달을 배정하기, 동아리에서 회장, 부회장, 회계를 선출하기, 또는 서로 다른 비밀번호나 PIN 배열이 몇 가지 가능한지 계산하기 등입니다.

어떻게 작동하나요?

항목의 총 개수 $n$과 배열하려는 개수 $r$을 입력합니다. 계산기는 표준 순열 공식을 평가하여 결과를 즉시 반환합니다. 정수이고 음이 아닌 수를 기대하며 $r \le n$을 요구합니다 — 가진 것보다 더 많은 항목을 배열할 수는 없습니다.

$n$에서 택한 $r$개 항목의 순열의 수는 다음과 같습니다:

${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$

여기서 $n!$(“n 팩토리얼”이라고 읽음)은 $n$까지의 모든 양의 정수의 곱이며, 정의에 따라 $0! = 1$입니다. 조합과 달리, 순열은 같은 선택의 서로 다른 순서를 구별합니다.

사용 예시

• n = 5, r = 2. ${}^{5}P_{2} = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$개의 순서쌍.
• n = 10, r = 3. ${}^{10}P_{3} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$가지 배열.
• n = 5, r = 5. ${}^{5}P_{5} = \frac{5!}{0!} = 120$, 이는 단순히 $5!$입니다 — 다섯 항목 전체의 모든 완전한 순서.
• n = 5, r = 0. ${}^{5}P_{0} = \frac{5!}{5!} = 1$, 유일한 “빈” 배열.

$r > n$을 요청하면 — 예를 들어 $n = 3$이고 $r = 5$ — 유효한 배열이 없으므로 결과는 비워 둡니다.

실용적인 참고 사항

순서가 중요하지 않을 때는 대신 조합이 필요하며, 이는 중복된 순서를 제거하기 위해 순열의 수를 $r!$로 나눕니다. 두 가지 모두의 기본 요소는 팩토리얼이며, 이러한 수의 증가는 지수 계산기에서 탐구하는 반복 곱셈과 밀접하게 관련되어 있습니다.

팩토리얼은 매우 빠르게 증가하기 때문에 순열의 수는 엄청나게 커질 수 있습니다: ${}^{20}P_{20} = 20!$은 이미 $2.4 \times 10^{18}$을 초과합니다. 큰 $n$의 경우, 결과는 부동 소수점 정밀도에 의해 제한되는 근사값입니다.