기하평균 계산기

기하평균 계산기란 무엇인가요?

기하평균 계산기는 양수 목록의 모든 값을 곱한 다음 입력한 값의 개수에 맞는 제곱근을 취하여 중심 경향을 구합니다. 값을 더한 후 개수로 나누는 일반적인(산술) 평균과 달리, 기하평균은 곱셈에 기반하므로 데이터가 비율, 비, 또는 시간이 지남에 따라 복리로 누적되는 양을 나타낼 때마다 올바른 선택이 됩니다.

숫자를 입력하면 계산기는 사용된 값의 개수와 함께 기하평균을 즉시 알려줍니다. 기하평균은 모든 값의 곱을 포함하기 때문에 양수에 대해서만 정의됩니다 — 단 하나의 0이라도 곱을 0으로 만들고, 음수 값은 실수 데이터에 대해 제곱근을 정의할 수 없게 만들기 때문에, 이러한 경우 계산기는 결과를 비워 둡니다.

어떻게 작동하나요?

$n$개의 양수 값의 기하평균은 그 곱의 $n$제곱근입니다:

$$GM = \left(\prod_{i=1}^{n} x_i\right)^{1/n} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$

긴 목록에 대해 산술 연산을 수치적으로 안정적으로 유지하기 위해, 계산기는 로그를 통해 동일한 값을 계산합니다 — 입력값의 자연로그를 평균낸 다음 그 결과를 지수화합니다:

$$GM = \exp\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln x_i\right)$$

두 형식 모두 동일한 답을 제공합니다; 로그 버전은 많은 값을 함께 곱할 때 오버플로를 단순히 방지합니다.

예제 계산

두 개의 숫자. 목록 $2$와 $8$의 경우, 곱은 $16$이고 값은 $n = 2$개이므로, 기하평균은 $16$의 제곱근입니다:

$$GM = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$$

세 개의 숫자. $2$, $4$, $8$의 경우, 곱은 $64$이고 $n = 3$이므로, 기하평균은 $64$의 세제곱근입니다:

$$GM = \sqrt[3]{2 \cdot 4 \cdot 8} = \sqrt[3]{64} = 4$$

동일한 값들. 모든 값이 같을 때, 기하평균은 그 값과 같습니다. $3$, $3$, $3$의 경우:

$$GM = \sqrt[3]{3 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{27} = 3$$

기하평균을 사용해야 할 때

기하평균은 값이 더해지기보다 곱해질 때마다 빛을 발합니다. 일반적인 용도는 다음과 같습니다:

• 평균 성장률 및 수익률. 매년 측정되는 투자 수익률, 인구 성장, 또는 인플레이션의 경우, 성장 인자의 기하평균이 진정한 복리 평균을 제공합니다 — 산술 평균은 이를 과대평가합니다.
• 비율 및 지수. 가격 지수, 종횡비, 그리고 비율로 표현되는 기타 양은 기하평균으로 올바르게 평균됩니다.
• 여러 자릿수에 걸친 데이터. 값이 10의 거듭제곱에 걸쳐 분포할 때, 기하평균은 산술 평균보다 극단적인 항목에 의해 훨씬 덜 왜곡됩니다.

단일 값의 경우 기하평균은 그 값 자체이며, 어떤 목록이든 기하평균은 항상 같은 숫자들의 산술 평균보다 작거나 같고, 모든 값이 동일할 때만 같습니다.

자주 묻는 질문

왜 숫자가 양수여야 하나요? 기하평균은 모든 값의 곱에 의존합니다. 0은 곱을 0으로 만들고, 음수 값은 실수에 대해 짝수 제곱근을 정의할 수 없게 만들기 때문에, 의미 있는 기하평균은 모든 입력값이 0보다 클 때만 존재합니다. 기하평균이 일상적인 평균과 어떻게 관련되는지 알아보려면 평균 계산기를 참조하시고, 데이터가 얼마나 퍼져 있는지 측정하려면 표준편차 계산기를 사용해 보세요.

중앙값이나 최빈값과 어떻게 다른가요? 중앙값과 최빈값은 곱에 기반한 중심이 아니라 위치와 빈도를 나타냅니다; 평균, 중앙값, 최빈값 계산기가 이러한 척도를 다룹니다. 기하평균은 진정한 평균이지만, 곱셈 데이터에 맞게 조정된 것입니다.