표준편차 계산기

표준편차 계산기란?

표준편차 계산기는 숫자들의 집합이 평균을 중심으로 얼마나 퍼져 있는지를 측정합니다. 데이터 점을 입력하면 계산기는 개수, 평균, 분산, 표준편차를 즉시 보고하며, 이는 데이터의 모집단 해석과 표본 해석 모두에 대해 산출됩니다. 표준편차가 작으면 값들이 평균 주위에 촘촘히 모여 있다는 뜻이고, 크면 넓게 흩어져 있다는 뜻입니다.

표준편차는 통계학에서 가장 널리 쓰이는 산포 측도 중 하나입니다. 품질 관리와 금융(여기서는 흔히 변동성이라고 불립니다)에서부터 시험 점수 분석과 과학 연구에 이르기까지 어디에나 등장하는데, 변동성을 원래 데이터와 같은 단위로 표현하기 때문입니다.

모집단 대 표본

분산과 표준편차에는 밀접하게 관련된 두 가지 버전이 있으며, 올바른 것을 선택하는 일이 중요합니다.

• 모집단 통계량은 완전한 데이터 집합을 기술합니다. 관심 있는 모든 구성원이 포함됩니다. 모분산은 편차 제곱의 합을 개수 $N$으로 나누며, 그 기호는 $\sigma^2$(분산)와 $\sigma$(표준편차)입니다.
• 표본 통계량은 더 큰 모집단에서 추출한 더 작은 부분집합을 기술하며, 당신은 그 표본으로부터 모집단 전체의 산포를 추정하고자 합니다. 표본분산은 $n$ 대신 $n - 1$로 나누는데(이를 베셀 보정이라고 합니다), 이는 알 수 없는 참 평균 대신 표본 평균을 사용함으로써 생기는 편향을 바로잡습니다. 그 기호는 $s^2$(분산)와 $s$(표준편차)입니다.

더 작은 $n - 1$로 나누면 약간 더 큰 결과가 나오므로, 동일한 데이터에 대해 표본표준편차는 항상 모표준편차보다 크거나 같습니다. 표본 버전은 최소한 두 개의 데이터 점이 필요합니다. 값이 하나뿐이면 추정할 산포가 없습니다.

어떻게 작동하나요?

모표준편차는 각 값이 평균으로부터 떨어진 거리의 제곱의 평균에 대한 제곱근입니다.

$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}$$

여기서 $\mu$는 모평균이고 $N$은 값의 개수입니다. 표본표준편차는 표본 평균 $\bar{x}$를 사용하고 $n - 1$로 나눕니다.

$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$

계산은 네 단계를 따릅니다.

1. 모든 값을 더한 뒤 값의 개수로 나누어 평균을 구합니다.
2. 모든 값에서 평균을 빼서 각 편차를 구합니다.
3. 각 편차를 제곱하고 그 제곱들을 더합니다.
4. $N$(모집단) 또는 $n - 1$(표본)로 나눈 다음, 제곱근을 취하여 표준편차를 얻습니다. 제곱근을 생략하면 분산이 남습니다.

풀이 예제

데이터 집합 $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$를 생각해 봅시다. 이것은 $N = 8$개의 값을 가집니다.

먼저, 평균은 다음과 같습니다.

$$\mu = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = \frac{40}{8} = 5$$

다음으로, 평균 $5$로부터의 편차 제곱은 $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$이며, 그 합은 $32$입니다. 모분산과 모표준편차는 다음과 같습니다.

$$\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4 \qquad \sigma = \sqrt{4} = 2$$

같은 숫자들을 표본으로 취급하면, 제곱의 합을 $n - 1 = 7$로 나눕니다.

$$s^2 = \frac{32}{7} \approx 4.5714 \qquad s = \sqrt{4.5714} \approx 2.1381$$

예상대로, 표본표준편차 $2.1381$은 모표준편차 $2$보다 큽니다.

$1, 2, 3, 4, 5$와 같은 더 작은 집합에서는 평균이 $3$, 편차 제곱의 합이 $10$, 모표준편차는 $\sqrt{2} \approx 1.4142$, 표본표준편차는 $\sqrt{2.5} \approx 1.5811$입니다.

실용적인 참고 사항

숫자들이 분석하려는 그룹 전체를 나타낼 때는 모집단 공식을 사용합니다. 예를 들어 어떤 한 학급이 관심의 전부일 때, 그 단일 학급에 속한 모든 학생의 시험 점수가 여기에 해당합니다. 숫자들이 더 큰 그룹에 대해 무언가를 추론하는 데 쓰이는 부분집합일 때는 표본 공식을 사용하며, 이는 설문조사, 실험, 그리고 대부분의 실제 통계에서 흔한 경우입니다.

표준편차는 평균 및 신뢰 구간 같은 구간 추정과 자연스럽게 어울립니다. 신뢰 구간은 표준편차와 표본 크기를 사용하여 참 평균의 범위를 정합니다. 또한 가설 검정에 쓰이는 임계값의 바탕이 됩니다.

자주 묻는 질문

분산과 표준편차의 차이는 무엇인가요?

분산은 평균으로부터의 편차 제곱의 평균이며, 제곱된 단위로 표현됩니다. 표준편차는 분산의 제곱근으로, 측도를 데이터의 원래 단위로 되돌려 해석하기 쉽게 만듭니다.

모표준편차와 표본표준편차 중 무엇을 사용해야 하나요?

데이터가 관심 그룹 전체를 포함할 때는 모집단 버전($\sigma$, $N$으로 나누기)을 사용합니다. 데이터가 더 큰 모집단에서 뽑은 표본이고 그 모집단의 산포에 대한 불편 추정값을 원할 때는 표본 버전($s$, $n - 1$로 나누기)을 사용합니다.

표준편차가 0이거나 음수가 될 수 있나요?

0이 될 수 있는데, 이는 데이터 집합의 모든 값이 동일할 때에만 일어납니다. 산포가 없는 경우입니다. 음수가 될 수는 없습니다. 왜냐하면 제곱된(음이 아닌) 항들의 합에 대한 제곱근이기 때문입니다.