평균 절대 편차 계산기

평균 절대 편차 계산기란?

평균 절대 편차 계산기는 각 값이 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 평균하여 숫자들의 집합이 얼마나 퍼져 있는지를 측정합니다. 데이터 점을 입력하면 계산기는 평균 절대 편차(MAD)를 평균 및 값의 개수와 함께 즉시 보고합니다. MAD가 작으면 숫자들이 평균 주위에 촘촘히 모여 있다는 뜻이고, 크면 넓게 흩어져 있다는 뜻입니다.

각 편차를 제곱하는 표준편차와 달리, 평균 절대 편차는 단순한 절대 거리를 사용합니다. 이렇게 하면 결과가 원래 데이터와 같은 단위로 유지되어 직관적이 됩니다. 즉 MAD는 단순히 한 데이터 점과 평균 사이의 전형적인 거리입니다.

어떻게 작동하나요?

평균 절대 편차는 각 값과 평균 사이의 절대 차이의 평균입니다.

$$MAD = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$$

여기서 $\bar{x}$는 데이터의 평균이고 $n$은 값의 개수입니다. 계산은 세 단계를 따릅니다.

1. 모든 값을 더한 뒤 값의 개수로 나누어 평균을 구합니다.
2. 모든 값에서 평균을 빼고 절댓값으로 부호를 없애서 각 절대 편차를 구합니다.
3. 그 절대 편차들을 더한 뒤 $n$으로 나누어 평균을 냅니다.

2단계에서 절댓값을 취하는 것이 MAD를 단순한 평균 편차와 구별 짓는 점입니다. 그것이 없으면 양의 편차와 음의 편차가 항상 상쇄되어 0이 되어 버립니다.

풀이 예제

데이터 집합 $1, 2, 3, 4, 5$를 생각해 봅시다. 이것은 $n = 5$개의 값을 가집니다.

먼저, 평균은 다음과 같습니다.

$$\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3$$

다음으로, 평균 $3$으로부터의 절대 편차는 $2, 1, 0, 1, 2$이며, 그 합은 $6$입니다. 평균 절대 편차는 다음과 같습니다.

$$MAD = \frac{6}{5} = 1.2$$

집합 $2, 2, 4, 4$에서는 평균이 $3$, 절대 편차는 $1, 1, 1, 1$이므로 다음과 같습니다.

$$MAD = \frac{1 + 1 + 1 + 1}{4} = 1$$

$10, 10, 10$처럼 모든 값이 동일할 때는 평균이 $10$, 각 편차가 $0$이고, 평균 절대 편차는 $0$입니다. 산포가 전혀 없습니다.

실용적인 참고 사항

평균 절대 편차는 설명하기 쉽고 극단값의 과도한 영향에 강한 변동성 측도를 원할 때 인기가 있습니다. 편차를 제곱하지 않기 때문에, 멀리 떨어진 단일 점이 MAD를 끌어올리는 정도는 표준편차를 끌어올리는 정도보다 작으며, 이로써 MAD는 전형적인 산포에 대한 더 견고한 요약이 됩니다.

이것은 편차를 측정하는 기준이 되는 중심값을 제공하는 평균, 그리고 데이터 집합의 중심과 형태를 더 온전히 파악하기 위한 평균, 중앙값, 최빈값과 자연스럽게 어울립니다. MAD는 결코 음수가 될 수 없으며, 모든 값이 평균과 같을 때에만 0이 됩니다.