Kalkulator prawdopodobieństwa rzutu kostką

Czym jest kalkulator prawdopodobieństwa rzutu kostką?

Kalkulator prawdopodobieństwa rzutu kostką oblicza, jak prawdopodobna jest określona suma oczek, gdy rzucasz kilkoma kostkami naraz i dodajesz wyniki. Rzut jedną kostką jest prosty: każda ścianka jest jednakowo prawdopodobna, więc kostka sześcienna pokazuje dowolną liczbę raz na sześć rzutów. Dodawanie kostek już takie nie jest: sumy ze środka zakresu można uzyskać na wiele różnych sposobów, a skrajne tylko na jeden. Właśnie dlatego 7 to najczęstszy wynik na dwóch sześciennych kostkach, a 2 jest najrzadszy.

Kalkulator odpowiada na pytania takie jak „Jaka jest szansa na sumę dokładnie 7 przy dwóch kostkach?” albo „Jaka jest szansa na 10 lub więcej?” — dla kostek o 4, 6, 8, 10, 12, 20 lub 100 ściankach i dla jednej do dwunastu kostek naraz.

Dlaczego suma oczek to nie problem rzutu monetą

Liczenie orłów w serii rzutów monetą to problem dwumianowy: każdy rzut ma dwa wyniki, a każdy orzeł dodaje dokładnie jeden do licznika. Sumy oczek są inne. Każda kostka wnosi wartość od 1 do $s$, więc rozkład sumy powstaje przez splot — wielokrotne łączenie już posiadanego rozkładu z jednostajnym rozkładem od 1 do $s$ kolejnej kostki.

Wynikiem jest rozkład w kształcie garbu, który wraz z dokładaniem kostek staje się gładszy i węższy (w stosunku do swojego zakresu), ale nie jest dwumianowy i żaden pojedynczy współczynnik dwumianowy go nie opisuje. Dlatego wzór na rzut monetą daje błędną odpowiedź dla sum oczek i dlatego kalkulator buduje cały rozkład.

Jak działa kalkulator?

Podajesz cztery wartości:

• Liczba kostek ($n$) — ile kostek jest rzucanych i sumowanych, od 1 do 12.
• Liczba ścianek kostki ($s$) — liczba ścianek każdej kostki: 4, 6, 8, 10, 12, 20 lub 100. Zakładamy, że wszystkie kostki są identyczne i uczciwe.
• Warunek dla sumy — czy suma ma być dokładnie, co najmniej, co najwyżej, większa lub mniejsza od celu.
• Suma docelowa ($t$) — suma, która Cię interesuje.

Kalkulator buduje następnie pełny rozkład możliwych sum, zlicza przypadki spełniające warunek i podaje:

• prawdopodobieństwo w procentach,
• prawdopodobieństwo jako ułamek dziesiętny od 0 do 1,
• szansę w postaci „jeden na …”,
• liczbę przypadków sprzyjających (sposobów spełnienia warunku),
• liczbę wszystkich przypadków ($s^{n}$).

Cel spoza możliwego zakresu nie jest błędem — ma po prostu prawdopodobieństwo 0. Najmniejsza możliwa suma to $n$ (każda kostka pokazuje 1), a największa to $n \times s$ (każda pokazuje najwyższą ściankę), więc pytanie o 13 przy dwóch sześciennych kostkach poprawnie zwraca 0.

Wzory

Niech $N(n, s, t)$ oznacza liczbę sposobów uzyskania sumy $t$ przy $n$ kostkach o $s$ ściankach. Ponieważ każdy z $s^{n}$ uporządkowanych wyników jest jednakowo prawdopodobny, prawdopodobieństwo dokładnej sumy wynosi

Same liczby przypadków pochodzą ze splotu. Zaczynając od $N(0, s, 0) = 1$, dołożenie kolejnej kostki rozdziela każdą dotychczasową liczbę na $s$ ścianek:

Przypadki skumulowane sumują poszczególne liczby:

Nierówności ostre to te same sumy przesunięte o jeden, ponieważ suma oczek jest zawsze liczbą całkowitą:

Istnieje też wzór zwarty na liczbę przypadków, otrzymany przez włączenia i wyłączenia po kostkach, które „przepełniają się” ponad $s$:

Wreszcie szansa jest odwrotnością prawdopodobieństwa:

Przykłady obliczeń

1. Dokładnie 7 na dwóch sześciennych kostkach. Dla $n = 2$, $s = 6$, $t = 7$ sumę 7 można uzyskać jako 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 i 6+1 — 6 przypadków sprzyjających z $6^{2} = 36$. Zatem $P = 6/36 \approx 0.166667$, czyli około 16,6667%, co odpowiada szansie jeden na 6. To najbardziej prawdopodobna suma na dwóch kostkach.

2. Dokładnie 2 na dwóch sześciennych kostkach. Działa tylko 1+1, więc jest 1 przypadek sprzyjający z 36: $P = 1/36 \approx 0.027778$, około 2,7778%, czyli jeden na 36.

3. Dokładnie 10 na trzech sześciennych kostkach. Dla $n = 3$, $s = 6$, $t = 10$ jest 27 przypadków sprzyjających z $6^{3} = 216$, więc $P = 27/216 = 0.125$ — dokładnie 12,5%, czyli jeden na 8. Razem z 11 jest to szczyt rozkładu dla trzech kostek.

4. Co najmniej 10 na dwóch sześciennych kostkach. Kwalifikują się sumy 10, 11 i 12, osiągalne odpowiednio na 3, 2 i 1 sposoby — 6 przypadków z 36, więc $P = 6/36 \approx 16.6667\%$.

5. Więcej niż 10 na dwóch sześciennych kostkach. „Więcej niż” wyklucza samą 10, zostają sumy 11 i 12: $2 + 1 = 3$ przypadki z 36, więc $P = 3/36 \approx 8.3333\%$. Przypadek lustrzany, „mniej niż 4”, zostawia sumy 2 i 3 i daje te same $3/36$.

6. Dokładnie 13 na dwóch sześciennych kostkach. Największa możliwa suma to $2 \times 6 = 12$, więc jest 0 przypadków sprzyjających i $P = 0$.

7. Dokładnie 10 na czterech czterościennych kostkach. Dla $n = 4$, $s = 4$, $t = 10$ jest 44 przypadków sprzyjających z $4^{4} = 256$, więc $P = 44/256 \approx 0.171875$, około 17,1875%.

Uwagi praktyczne

• Rozkład sumy oczek jest zawsze symetryczny względem $n(s+1)/2$. Przy dwóch sześciennych kostkach ten środek wynosi 7, przy trzech 10,5 — dlatego 10 i 11 remisują jako najbardziej prawdopodobna suma.
• Pytanie o „co najmniej” minimalną sumę $n$ albo „co najwyżej” maksymalną sumę $n \times s$ zawsze zwraca prawdopodobieństwo 1, ponieważ każdy rzut spełnia warunek.
• Szansa jest pokazywana tylko wtedy, gdy prawdopodobieństwo jest większe od zera — dla niemożliwej sumy wartość „jeden na” nie ma sensu.
• Liczby przypadków sprzyjających i wszystkich są pokazywane tylko dopóki $s^{n}$ jest dostatecznie małe, by być dokładną liczbą całkowitą. Przy dwunastu stuściennych kostkach $100^{12} = 10^{24}$ przypadków przekracza ten limit, więc liczby są ukrywane, podczas gdy prawdopodobieństwa, będące stosunkami, pozostają dokładne.
• Wszystkie obliczenia zakładają uczciwe i niezależne kostki. Kostki obciążone, przerzuty, zasady „odrzuć najniższy” i kostki eksplodujące zmieniają rozkład i nie są tu uwzględnione.
• Dla doświadczenia o dwóch wynikach powtarzanego wiele razy kalkulator prawdopodobieństwa rzutu monetą korzysta z modelu dwumianowego. Aby łączyć szanse zdarzeń niezależnych, zobacz kalkulator prawdopodobieństwa, a aby liczyć wybory zamiast sum — kalkulator kombinacji.