Calculadora da área de um segmento circular

O que é um segmento circular?

Um segmento circular é a região de um disco delimitada por uma corda e pelo arco que essa corda corta. Imagine uma fatia completa de torta (um setor) e, em seguida, remova a cunha triangular que conecta as duas extremidades do arco ao centro — o que resta é o segmento. É a “calota” curva situada entre a corda e o arco.

O segmento depende de dois valores: o raio $r$ do círculo e o ângulo central $\theta$ subtendido pela corda no centro. O ângulo pode ser dado em graus, radianos ou grados; esta calculadora realiza a conversão internamente.

Conceitos chave

• Raio (r) — a distância do centro do círculo até um ponto em sua borda.
• Ângulo central (θ) — o ângulo formado no centro pelos dois raios traçados até as extremidades da corda.
• Corda — a linha reta que conecta as duas extremidades do arco.
• Arco — a borda curva do segmento, oposta à corda.
• Setor — a região em forma de fatia de torta delimitada pelo arco e pelos dois raios.
• Triângulo — o triângulo isósceles com dois lados iguais a $r$ e ângulo incluído $\theta$.

Como funciona a calculadora?

O segmento é o que resta quando o triângulo é removido do setor:

Com $\theta$ em radianos, a área do setor é $\frac{1}{2} r^2 \theta$ e a área do triângulo isósceles formado pelos dois raios é $\frac{1}{2} r^2 \sin\theta$. Subtraindo uma da outra obtém-se a fórmula padrão.

Fórmula

Se $\theta$ estiver em radianos:

Se $\theta$ for dado em graus, ele é primeiro convertido para radianos com $\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$ antes de ser substituído na fórmula.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: segmento pequeno, 60°

Um círculo tem um raio de 10 cm. A corda corta um ângulo central de 60°.

Conversão: $\theta_{\text{rad}} = 60° \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}0472$.

Exemplo 2: semicírculo, π radianos

Para um raio de 5 cm e um ângulo central de $\pi$ radianos (180°), a corda é um diâmetro e o segmento é exatamente a metade do disco:

Exemplo 3: quarto de círculo menos triângulo, 90°

Para um raio de 10 cm e um ângulo central de 90°:

Isto corresponde à intuição: o setor quarto tem uma área de $25\pi \approx 78{,}54$ cm², o triângulo retângulo tem uma área de $50$ cm², e a diferença é o segmento.

Usos práticos

• Engenharia — cálculo das áreas de secção transversal de tanques ou tubos circulares parcialmente cheios para problemas de escoamento de fluidos (é o mesmo cálculo usado pela calculadora de área do círculo quando apenas uma porção está cheia).
• Construção e arquitetura — dimensionamento de janelas, arcos e detalhes em recesso onde a calota curva de um círculo é um elemento de design.
• Fabricação — orçamento de material para peças estampadas, cortadas ou usinadas com formato de calota circular.
• Engenharia civil — estimativa de volumes de terraplanagem para secções transversais de canais circulares que não estão cheios.
• Geometria e trigonometria — verificação da relação com a calculadora de área de um setor circular e a calculadora do comprimento da corda.

Notas

• O ângulo deve ser positivo. Um ângulo de 0° produz um segmento degenerado com área zero.
• Para $\theta = 2\pi$ (360°), a fórmula retorna a área do círculo completo.
• O segmento “menor” corresponde a ângulos abaixo de 180°. Para ângulos acima de 180°, a fórmula dá o segmento “maior” que inclui o centro.
• As unidades do raio e da área devem ser consistentes: um raio em metros produz uma área em metros quadrados. O seletor de unidades reconverte o resultado automaticamente.
• O resultado é exato até a precisão de $\pi$ e da função seno; os erros de arredondamento são desprezíveis para uso cotidiano.