Calculadora de combinações

O que é uma calculadora de combinações?

Uma calculadora de combinações determina de quantas maneiras diferentes você pode escolher um grupo de itens de um conjunto maior quando a ordem de seleção não importa. Essa quantidade é chamada de número de combinações, escrita como ${}^{n}C_{r}$, “n escolhe r”, ou com o coeficiente binomial $\binom{n}{r}$. Aqui $n$ é o número total de itens disponíveis e $r$ é quantos deles você escolhe.

As combinações aparecem sempre que você se importa apenas com quais itens acabam juntos, e não com a sequência em que foram escolhidos. Escolher 2 coberturas de 5 dá a mesma pizza, não importa qual cobertura você nomeie primeiro, portanto é um problema de combinações. Se a ordem importasse, você estaria contando permutações.

Como funciona?

Insira o número total de itens $n$ e o número que deseja escolher $r$, e a calculadora retorna ${}^{n}C_{r}$ instantaneamente. Ambos os valores devem ser números inteiros, e $r$ não pode ser maior que $n$ — você não pode escolher mais itens do que possui. Se $r > n$, ou se algum dos campos for deixado vazio, o resultado permanece em branco.

Fórmula

O número de combinações é dado pelo coeficiente binomial:

${}^{n}C_{r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Aqui $n!$ (n fatorial) é o produto de todos os inteiros positivos até $n$, de modo que $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$. Por convenção $0! = 1$, motivo pelo qual escolher zero itens, ou escolher todos eles, sempre resulta em exatamente uma combinação.

Algumas identidades úteis decorrem diretamente da fórmula:

1. $\binom{n}{0} = 1$ — há uma maneira de não escolher nada.
2. $\binom{n}{n} = 1$ — há uma maneira de escolher tudo.
3. $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ — escolher $r$ itens para manter é o mesmo que escolher $n-r$ itens para deixar de fora.

Exemplos resolvidos

1. Exemplo 1: Escolher 2 itens de 5. $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$.
2. Exemplo 2: Escolher 3 itens de 10. $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\,7!} = \frac{3628800}{6 \times 5040} = 120$.
3. Exemplo 3: Escolher todos os 5 de 5. $\binom{5}{5} = \frac{5!}{5!\,0!} = 1$.
4. Exemplo 4: Escolher 0 de 5. $\binom{5}{0} = \frac{5!}{0!\,5!} = 1$.

Notas práticas

• As combinações contam seleções sem ordem. Se a disposição importar — por exemplo, sentar pessoas em uma fila — use permutações, onde ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$.
• Os valores crescem rapidamente por causa dos fatoriais, de modo que até entradas modestas podem produzir contagens muito grandes.
• As combinações são a base da probabilidade, da distribuição binomial, das chances de loteria, da contagem de mãos de cartas e dos problemas de projeto combinatório.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre combinações e permutações?

Nas combinações a ordem dos itens escolhidos não importa, portanto $\{A, B\}$ e $\{B, A\}$ contam como uma seleção. Nas permutações a ordem importa, portanto contam como duas. Como resultado, sempre há pelo menos tantas permutações quanto combinações para os mesmos $n$ e $r$.

Por que escolher 0 itens é igual a 1?

Porque $0! = 1$, a fórmula dá $\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!\,n!} = 1$. Intuitivamente, há exatamente uma maneira de não selecionar nada — a seleção vazia.

r pode ser maior que n?

Não. Você não pode escolher mais itens do que existem no conjunto, portanto $\binom{n}{r}$ só é definido para $0 \le r \le n$. Esta calculadora retorna um resultado em branco quando $r > n$.