Calculadora de Fatorial

O que é uma calculadora de fatorial?

Uma calculadora de fatorial encontra o fatorial de um número inteiro não negativo, escrito $n!$ e lido em voz alta como «n fatorial». O fatorial é o produto de todos os números inteiros positivos de $1$ até $n$ inclusive. Insira um valor para $n$ e a calculadora retorna $n!$ imediatamente.

Os fatoriais crescem extremamente rápido: $5!$ já é $120$, e $10!$ ultrapassa três milhões. Devido a esse crescimento rápido, os fatoriais aparecem em toda a combinatória, probabilidade, álgebra e cálculo sempre que você precisa contar o número de maneiras de organizar objetos.

Como funciona?

O fatorial é definido como o produto de todos os números inteiros positivos até $n$:

$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

Há um caso especial importante. O fatorial de zero é definido como igual a um:

$0! = 1$

Isso não é um acaso nem uma exceção acrescentada depois. Há exatamente uma maneira de organizar zero objetos (a organização vazia), de modo que $0! = 1$ mantém as fórmulas de contagem consistentes. Isso também decorre da regra recursiva $n! = n \times (n-1)!$: definindo $n = 1$, obtém-se $1! = 1 \times 0!$, o que só é válido se $0! = 1$.

Os fatoriais são definidos apenas para números inteiros não negativos. Um número negativo ou uma fração como $2.5$ não tem fatorial comum, portanto a calculadora deixa o resultado em branco para essas entradas. (A função gama estende a ideia a outros números, mas isso vai além de um fatorial básico.)

Exemplos resolvidos

• $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
• $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
• $10! = 10 \times 9 \times 8 \times \cdots \times 2 \times 1 = 3{,}628{,}800$
• $1! = 1$
• $0! = 1$

Observe o atalho recursivo em ação: uma vez que você sabe que $5! = 120$, calcular $6!$ é apenas $6 \times 120 = 720$, e $10!$ se constrói da mesma forma, um passo de cada vez.

Notas práticas

Os fatoriais são o motor por trás das permutações e combinações. O número de maneiras de organizar $n$ itens distintos em ordem é $n!$, e as fórmulas para permutações $P(n, r)$ e combinações $C(n, r)$ são ambas escritas em termos de fatoriais. Se você está contando organizações ou seleções, consulte a calculadora de permutações em https://www.mega-calculator.com/pt/math/permutations/ e a calculadora de combinações em https://www.mega-calculator.com/pt/math/combinations/.

Como os fatoriais explodem em tamanho, esta calculadora aceita valores até $170$. Além desse ponto, $n!$ excede o maior valor finito que um número de computador padrão pode representar, então o resultado é deixado em branco em vez de ser informado como infinito. Para contagens cotidianas e trabalhos de probabilidade, essa faixa é mais do que suficiente.