Calculadora de permutações

O que é uma calculadora de permutações?

Uma calculadora de permutações informa quantas disposições ordenadas diferentes você pode formar selecionando $r$ itens de um conjunto maior de $n$ itens distintos. Como a ordem importa, escolher o item A e depois o item B é contado separadamente de escolher B e depois A.

As permutações aparecem sempre que você precisa contar sequências: atribuir medalhas de ouro, prata e bronze aos corredores, escolher um presidente, um vice-presidente e um tesoureiro de um clube, ou calcular quantas senhas ou ordenações de PIN distintas são possíveis.

Como funciona?

Insira o número total de itens $n$ e quantos você deseja organizar $r$. A calculadora avalia a fórmula padrão de permutação e retorna o resultado instantaneamente. Ela espera números inteiros e não negativos, e exige $r \le n$ — você não pode organizar mais itens do que possui.

O número de permutações de $r$ itens tomados de $n$ é:

${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$

Aqui $n!$ (lido como “n fatorial”) é o produto de todos os inteiros positivos até $n$, e $0! = 1$ por definição. Ao contrário de uma combinação, uma permutação distingue entre diferentes ordenações da mesma seleção.

Exemplos de uso

• n = 5, r = 2. ${}^{5}P_{2} = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$ pares ordenados.
• n = 10, r = 3. ${}^{10}P_{3} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$ disposições.
• n = 5, r = 5. ${}^{5}P_{5} = \frac{5!}{0!} = 120$, que é simplesmente $5!$ — cada ordenação completa de todos os cinco itens.
• n = 5, r = 0. ${}^{5}P_{0} = \frac{5!}{5!} = 1$, a única disposição “vazia”.

Se você pedir $r > n$ — por exemplo $n = 3$ e $r = 5$ — o resultado é deixado em branco, porque não há disposição válida.

Notas práticas

Quando a ordem não importa, você quer uma combinação em vez disso, que divide o número de permutações por $r!$ para remover ordenações duplicadas. O bloco de construção de ambas é o fatorial, e o crescimento dessas contagens está intimamente relacionado à multiplicação repetida explorada na calculadora de expoentes.

Como os fatoriais crescem muito rapidamente, as contagens de permutações podem se tornar enormes: ${}^{20}P_{20} = 20!$ já excede $2.4 \times 10^{18}$. Para $n$ grandes, o resultado é uma aproximação limitada pela precisão de ponto flutuante.