Calculadora da lei dos cossenos

O que é uma calculadora da lei dos cossenos?

A calculadora da lei dos cossenos resolve um triângulo quando você conhece dois de seus lados e o ângulo entre eles (o caso «lado-ângulo-lado»). Você insere o lado $a$, o lado $b$ e o ângulo compreendido $C$, e a calculadora retorna o comprimento do terceiro lado $c$ junto com os dois ângulos restantes $A$ e $B$.

A lei dos cossenos é uma generalização do teorema de Pitágoras. Quando o ângulo compreendido é exatamente $90°$, o termo do cosseno se anula e a fórmula se reduz a $c^2 = a^2 + b^2$, a conhecida relação de um triângulo retângulo.

Como funciona?

O terceiro lado vem diretamente da lei dos cossenos:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

Extraindo a raiz quadrada, obtém-se $c$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

Uma vez conhecidos os três lados, o ângulo oposto ao lado $a$ é recuperado reorganizando a mesma lei:

$A = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

Como os três ângulos internos de qualquer triângulo somam $180°$, o último ângulo segue imediatamente:

$B = 180° - A - C$

O ângulo compreendido $C$ deve estar estritamente entre $0°$ e $180°$, e ambos os lados dados devem ser positivos, para que o triângulo exista.

Exemplos resolvidos

Triângulo retângulo. Com $a = 3$, $b = 4$ e $C = 90°$, o termo do cosseno desaparece, portanto $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Os ângulos restantes são $A \approx 36.8699°$ e $B \approx 53.1301°$, recuperando o clássico triângulo 3-4-5.

Triângulo oblíquo. Com $a = 5$, $b = 7$ e $C = 60°$, obtemos $c = \sqrt{5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60°} = \sqrt{25 + 49 - 35} = \sqrt{39} \approx 6.2450$.

Notas práticas

A lei dos cossenos é mais útil quando a lei dos senos não consegue iniciar uma solução, especificamente nos casos lado-ângulo-lado e lado-lado-lado, em que nenhum lado e seu ângulo oposto são conhecidos juntos. Topógrafos, navegadores e engenheiros recorrem a ela para calcular distâncias através de uma linha de base quando apenas dois lados e o ângulo entre eles podem ser medidos.

Se, em vez disso, você conhece dois ângulos e um lado, ou dois lados e um ângulo não compreendido, a lei dos senos é a ferramenta mais direta. Para o caso especial do triângulo retângulo, você também pode usar a calculadora de hipotenusa, e para avaliar o cosseno do ângulo compreendido por si só, consulte a calculadora de trigonometria.