Calculadora da lei dos senos

O que é uma calculadora da lei dos senos?

Uma calculadora da lei dos senos resolve um triângulo quando você conhece um ângulo, o lado diretamente oposto a ele e um segundo ângulo. A partir desses três valores, ela determina o terceiro ângulo e os dois lados que faltam. A lei dos senos é a relação que liga os ângulos de qualquer triângulo aos comprimentos dos lados opostos a eles, de modo que funciona igualmente para triângulos acutângulos, retângulos e obtusângulos, não apenas para triângulos retângulos.

Nesta calculadora você insere o ângulo $A$ em graus, o lado $a$ (o lado oposto ao ângulo $A$) e o ângulo $B$ em graus. Ela devolve o ângulo $C$, o lado $b$ e o lado $c$.

Como funciona?

A lei dos senos afirma que a razão entre cada lado e o seno do seu ângulo oposto é a mesma para os três lados de um triângulo:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Como os ângulos internos de qualquer triângulo somam $180^\circ$, o terceiro ângulo segue imediatamente:

$C = 180^\circ - A - B$

Uma vez conhecido cada ângulo e dado um lado oposto ($a$), os lados restantes saem diretamente das razões acima:

$b = \frac{a \, \sin B}{\sin A} \qquad c = \frac{a \, \sin C}{\sin A}$

Para que essas fórmulas descrevam um triângulo real, tanto $A$ quanto $B$ devem ser positivos e a sua soma deve ser menor que $180^\circ$. Se $A + B \ge 180^\circ$, não há triângulo válido, e a calculadora deixa os resultados em branco.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: um triângulo 30-60-90

Suponha $A = 30^\circ$, $a = 10$ e $B = 60^\circ$. Primeiro encontre o ângulo que falta:

$C = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

Agora aplique as razões. Como $\sin 30^\circ = 0.5$, $\sin 60^\circ \approx 0.8660$ e $\sin 90^\circ = 1$:

$b = \frac{10 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 0.8660}{0.5} \approx 17.3205$

$c = \frac{10 \cdot \sin 90^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 1}{0.5} = 20$

Portanto $C = 90^\circ$, $b \approx 17.3205$ e $c = 20$.

Exemplo 2: um triângulo retângulo isósceles

Com $A = 45^\circ$, $a = 10$ e $B = 45^\circ$:

$C = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$

Como $\sin 45^\circ = \sin B$, o lado $b$ é igual ao lado $a$:

$b = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 45^\circ} = 10$

$c = \frac{10 \cdot \sin 90^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{0.7071} \approx 14.1421$

O triângulo tem dois lados iguais de comprimento $10$ e uma hipotenusa de cerca de $14.1421$.

Notas práticas

• Insira ambos os ângulos em graus. A calculadora os converte internamente antes de calcular o seno.
• O lado conhecido $a$ deve ser aquele oposto ao ângulo conhecido $A$; caso contrário, as razões não se alinharão.
• Esta ferramenta usa a configuração ângulo-ângulo-lado (AAS), que sempre produz um único triângulo. O mais delicado “caso ambíguo” lado-lado-ângulo (SSA) — em que dois triângulos diferentes podem servir — não é tratado aqui.
• Quando, em vez disso, você conhece dois lados e o ângulo entre eles, recorra à calculadora da lei dos cossenos, e para o seno, o cosseno e a tangente simples de um único ângulo, consulte a calculadora de trigonometria.

Perguntas frequentes

Quando devo usar a lei dos senos em vez da lei dos cossenos?

Use a lei dos senos quando conhecer um ângulo junto com o lado oposto a ele, mais outro ângulo ou lado (os casos AAS ou ASA). Use a lei dos cossenos quando conhecer dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados.

A lei dos senos funciona para triângulos não retângulos?

Sim. Aplica-se a todo triângulo — acutângulo, retângulo e obtusângulo. É uma das principais ferramentas para resolver triângulos que não são retângulos.

Por que meus resultados estão em branco?

Os resultados ficam vazios se um campo estiver faltando, se um ângulo for zero ou negativo, ou se o ângulo $A$ mais o ângulo $B$ for $180^\circ$ ou mais, porque nenhum triângulo pode ter esses ângulos.