Calculadora de valor crítico

O que é um valor crítico?

Um valor crítico é o ponto de corte que separa os valores de uma estatística de teste que levam a rejeitar a hipótese nula daqueles que não levam. Depois de escolher um nível de significância e uma direção de teste, o valor crítico marca a borda da região de rejeição. Se a sua estatística calculada ultrapassar essa borda, o resultado é estatisticamente significativo no nível escolhido.

Esta calculadora retorna o valor crítico para as quatro distribuições mais comuns nos testes de hipótese: a normal padrão (Z), a t de Student, a qui-quadrado e a F. Escolha a distribuição, o tipo de teste (bicaudal, cauda direita ou cauda esquerda), o nível de significância e os graus de liberdade quando a distribuição os exigir.

Como funciona a calculadora?

Todo valor crítico é um quantil da função de distribuição acumulada da distribuição. Se $F$ é a função de distribuição acumulada da distribuição escolhida, a função quantil (inversa) $F^{-1}$ converte uma probabilidade de volta no valor situado nessa probabilidade. A calculadora avalia $F^{-1}$ na probabilidade ditada pelo seu nível de significância $\alpha$ e pela direção do teste.

Para uma distribuição simétrica como Z ou t, os três tipos de teste correspondem a estas probabilidades:

As distribuições qui-quadrado e F não são simétricas, portanto um teste bicaudal produz dois limites distintos, um inferior e um superior:

Cálculo dos quantis

O quantil da normal padrão $\Phi^{-1}$ não tem forma fechada, por isso a calculadora usa uma aproximação racional (o método de Acklam), refinada por um passo de Halley, o que fornece a normal inversa com precisão dupla completa. Os quantis de t, qui-quadrado e F são obtidos invertendo numericamente suas funções de distribuição acumulada, construídas a partir das funções beta e gama incompletas regularizadas.

Exemplos resolvidos

1. Z, bicaudal, $\alpha = 0.05$. Distribua o nível de significância entre as duas caudas e avalie o quantil normal em $1 - \tfrac{0.05}{2} = 0.975$: $\Phi^{-1}(0.975) = 1.959964 \approx \pm 1.96$ A região de rejeição é tudo abaixo de $-1.96$ ou acima de $1.96$.

2. Z, cauda direita, $\alpha = 0.05$. Uma única cauda superior: $\Phi^{-1}(0.95) = 1.644854 \approx 1.64$

3. t, cauda direita, $d = 15$, $\alpha = 0.05$. Avalie o quantil t em $0.95$ com 15 graus de liberdade: $t^{-1}(0.95;\, 15) \approx 1.7531$ A região de rejeição é $(1.7531, \infty)$.

4. t, bicaudal, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. Avalie em $0.975$: $t^{-1}(0.975;\, 10) \approx \pm 2.228$

5. Qui-quadrado, bicaudal, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. Os limites inferior e superior vêm de $0.025$ e $0.975$: $\chi^{2-1}(0.025;\, 10) \approx 3.247 \qquad \chi^{2-1}(0.975;\, 10) \approx 20.483$

6. F, cauda direita, $d = 5$, $d_2 = 10$, $\alpha = 0.05$. Com 5 graus de liberdade no numerador e 10 no denominador: $F^{-1}(0.95;\, 5,\, 10) \approx 3.326$

Notas práticas

• O nível de significância $\alpha$ deve estar estritamente entre $0$ e $1$. As escolhas comuns são $0.10$, $0.05$ e $0.01$.
• Use a distribuição Z quando o desvio padrão populacional for conhecido ou a amostra for grande; mude para a distribuição t em amostras pequenas com desvio padrão estimado.
• A distribuição qui-quadrado é usada para testes de variância e de aderência, e a distribuição F para comparar duas variâncias ou para a análise de variância.
• Os graus de liberdade moldam as distribuições t, qui-quadrado e F. À medida que os graus de liberdade da t crescem, seus valores críticos se aproximam dos valores Z correspondentes.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre um valor crítico unicaudal e bicaudal?

Um teste unicaudal coloca toda a região de rejeição em uma única cauda, então usa $F^{-1}(1 - \alpha)$ (direita) ou $F^{-1}(\alpha)$ (esquerda). Um teste bicaudal distribui $\alpha$ entre as duas caudas, afastando cada valor crítico do centro.

Por que o valor crítico qui-quadrado precisa de graus de liberdade?

A distribuição qui-quadrado muda de forma com seus graus de liberdade, de modo que um único nível de significância corresponde a pontos de corte diferentes para diferentes graus de liberdade. O mesmo vale para as distribuições t e F.

Como o valor crítico se relaciona com o valor p?

São dois lados da mesma decisão. Você rejeita a hipótese nula quando a estatística de teste excede o valor crítico, que é exatamente quando o valor p é menor que $\alpha$.

Um valor crítico pode ser negativo?

Sim. Um valor crítico Z ou t de cauda esquerda é negativo porque fica na cauda inferior. Os valores qui-quadrado e F são sempre não negativos, pois essas distribuições só são definidas para números não negativos.