Calculadora de desvio padrão

O que é uma calculadora de desvio padrão?

Uma calculadora de desvio padrão mede o quanto um conjunto de números está disperso em torno da sua média. Insira seus dados e a calculadora informa instantaneamente a contagem, a média, a variância e o desvio padrão, tanto para a interpretação populacional quanto para a amostral dos seus dados. Um desvio padrão pequeno significa que os valores se agrupam de forma compacta em torno da média; um grande significa que estão amplamente espalhados.

O desvio padrão é uma das medidas de dispersão mais usadas na estatística. Ele aparece em toda parte, do controle de qualidade e das finanças (onde é frequentemente chamado de volatilidade) à análise de notas de provas e à pesquisa científica, porque expressa a variabilidade nas mesmas unidades dos dados originais.

População versus amostra

Há duas versões intimamente relacionadas de variância e desvio padrão, e escolher a correta importa.

• As estatísticas populacionais descrevem um conjunto de dados completo: cada membro que lhe interessa está incluído. A variância populacional divide a soma dos desvios ao quadrado pela contagem $N$, e seus símbolos são $\sigma^2$ (variância) e $\sigma$ (desvio padrão).
• As estatísticas amostrais descrevem um subconjunto menor extraído de uma população maior, e você quer estimar a dispersão de toda essa população a partir da amostra. A variância amostral divide por $n - 1$ em vez de por $n$ (isso é conhecido como correção de Bessel), o que corrige o viés que surge ao usar a média amostral em vez da verdadeira média desconhecida. Seus símbolos são $s^2$ (variância) e $s$ (desvio padrão).

Como dividir pelo menor $n - 1$ produz um resultado ligeiramente maior, o desvio padrão amostral é sempre maior ou igual ao desvio padrão populacional para os mesmos dados. A versão amostral requer pelo menos dois dados; com um único valor não há dispersão a estimar.

Como funciona?

O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da distância média ao quadrado de cada valor em relação à média:

onde $\mu$ é a média populacional e $N$ é o número de valores. O desvio padrão amostral usa a média amostral $\bar{x}$ e divide por $n - 1$:

O cálculo segue quatro passos:

1. Encontre a média somando todos os valores e dividindo pela quantidade deles.
2. Encontre cada desvio subtraindo a média de cada valor.
3. Eleve ao quadrado cada desvio e some os quadrados.
4. Divida por $N$ (população) ou $n - 1$ (amostra) e, em seguida, extraia a raiz quadrada para obter o desvio padrão. Omitir a raiz quadrada deixa você com a variância.

Exemplo resolvido

Considere o conjunto de dados $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$, que tem $N = 8$ valores.

Primeiro, a média:

Em seguida, os desvios ao quadrado em relação à média de $5$ são $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$, que somam $32$. A variância e o desvio padrão populacionais são:

Tratando os mesmos números como uma amostra, divida a soma dos quadrados por $n - 1 = 7$:

Como esperado, o desvio padrão amostral $2.1381$ é maior que o desvio padrão populacional $2$.

Para um conjunto menor como $1, 2, 3, 4, 5$, a média é $3$, a soma dos desvios ao quadrado é $10$, o desvio padrão populacional é $\sqrt{2} \approx 1.4142$ e o desvio padrão amostral é $\sqrt{2.5} \approx 1.5811$.

Notas práticas

Use a fórmula populacional quando seus números representam todo o grupo que você está analisando — por exemplo, as notas de prova de cada aluno de uma única turma quando essa turma é tudo o que lhe interessa. Use a fórmula amostral quando seus números são um subconjunto usado para inferir algo sobre um grupo maior, o caso comum em pesquisas, experimentos e na maioria das estatísticas do mundo real.

O desvio padrão combina naturalmente com a média e com estimativas por intervalo, como o intervalo de confiança, que usa o desvio padrão e o tamanho da amostra para delimitar a verdadeira média. Ele também fundamenta os valores críticos usados em testes de hipóteses.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre variância e desvio padrão?

A variância é a média dos desvios ao quadrado em relação à média, expressa em unidades ao quadrado. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, que devolve a medida às unidades originais dos dados e a torna mais fácil de interpretar.

Devo usar o desvio padrão populacional ou amostral?

Use a versão populacional ($\sigma$, dividir por $N$) quando seus dados abrangem todo o grupo de interesse. Use a versão amostral ($s$, dividir por $n - 1$) quando seus dados são uma amostra de uma população maior e você deseja uma estimativa não enviesada da dispersão dessa população.

O desvio padrão pode ser zero ou negativo?

Ele pode ser zero, o que ocorre apenas quando todos os valores do conjunto de dados são idênticos — não há dispersão. Ele nunca pode ser negativo, porque é a raiz quadrada de uma soma de termos ao quadrado (não negativos).