Калькулятор площади сегмента круга

Что такое сегмент круга?

Сегмент круга — это часть круга, ограниченная хордой и дугой, которую эта хорда отсекает. Представьте полный кусок пирога (сектор), а затем уберите треугольный клин, соединяющий концы дуги с центром, — то, что останется, и есть сегмент. Это изогнутая «шапочка», расположенная между хордой и дугой.

Сегмент зависит от двух величин: радиуса $r$ круга и центрального угла $\theta$, опирающегося на хорду в центре. Угол можно задать в градусах, радианах или градах; калькулятор выполняет перевод внутренне.

Основные понятия

• Радиус (r) — расстояние от центра круга до любой точки на его границе.
• Центральный угол (θ) — угол, образованный в центре двумя радиусами, проведёнными к концам хорды.
• Хорда — прямая, соединяющая концы дуги.
• Дуга — криволинейная граница сегмента, противоположная хорде.
• Сектор — область в форме куска пирога, ограниченная дугой и двумя радиусами.
• Треугольник — равнобедренный треугольник с двумя сторонами, равными $r$, и углом при вершине $\theta$.

Как работает калькулятор?

Сегмент — это то, что остаётся после удаления треугольника из сектора:

При $\theta$ в радианах площадь сектора равна $\frac{1}{2} r^2 \theta$, а площадь равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами, равна $\frac{1}{2} r^2 \sin\theta$. Вычитание одной из другой даёт стандартную формулу.

Формула

Если $\theta$ задан в радианах:

Если $\theta$ задан в градусах, его сначала переводят в радианы по формуле $\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$, а затем подставляют в формулу.

Примеры вычисления

Пример 1: небольшой сегмент, 60°

Круг имеет радиус 10 см. Хорда отсекает центральный угол 60°.

Перевод: $\theta_{\text{rad}} = 60° \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}0472$.

Пример 2: полукруг, π радиан

При радиусе 5 см и центральном угле $\pi$ радиан (180°) хорда становится диаметром, а сегмент составляет ровно половину круга:

Пример 3: четверть круга минус треугольник, 90°

При радиусе 10 см и центральном угле 90°:

Это согласуется с интуицией: четвертной сектор имеет площадь $25\pi \approx 78{,}54$ см², прямоугольный треугольник — площадь $50$ см², а их разность и есть сегмент.

Практическое применение

• Инженерия — расчёт площади поперечного сечения частично заполненных круглых цистерн или труб для задач течения жидкостей (это тот же расчёт, что используется в калькуляторе площади круга, когда заполнена только часть).
• Строительство и архитектура — определение размеров окон, арок и заглублённых элементов, где изогнутая «шапочка» круга является элементом дизайна.
• Производство — оценка материала для штампованных, вырезаемых или обрабатываемых деталей в форме круглой шапочки.
• Гражданское строительство — оценка объёмов земляных работ для поперечных сечений круглых каналов, заполненных не полностью.
• Геометрия и тригонометрия — проверка соотношения с калькулятором площади сектора круга и калькулятором длины хорды.

Замечания

• Угол должен быть положительным. Угол 0° даёт вырожденный сегмент с нулевой площадью.
• При $\theta = 2\pi$ (360°) формула возвращает площадь всего круга.
• «Меньший» сегмент соответствует углам менее 180°. Для углов больше 180° формула даёт больший «больший» сегмент, включающий центр.
• Единицы измерения радиуса и площади должны быть согласованы: радиус в метрах даёт площадь в квадратных метрах. Селектор единиц измерения автоматически пересчитывает результат.
• Результат точен до точности $\pi$ и функции синуса; ошибки округления пренебрежимо малы для повседневного использования.