Калькулятор сочетаний

Что такое калькулятор сочетаний?

Калькулятор сочетаний определяет, сколькими различными способами можно выбрать группу элементов из большего множества, когда порядок выбора не имеет значения. Эта величина называется числом сочетаний и записывается как ${}^{n}C_{r}$, «n по r», или через биномиальный коэффициент $\binom{n}{r}$. Здесь $n$ — это общее число доступных элементов, а $r$ — сколько из них вы выбираете.

Сочетания появляются всякий раз, когда важно только то, какие элементы оказываются вместе, а не последовательность, в которой они были выбраны. Выбор 2 начинок из 5 дает одну и ту же пиццу независимо от того, какую начинку вы назовете первой, поэтому это задача на сочетания. Если бы порядок имел значение, вы бы вместо этого считали размещения.

Как это работает?

Введите общее число элементов $n$ и число, которое вы хотите выбрать $r$, и калькулятор мгновенно вернет ${}^{n}C_{r}$. Оба значения должны быть целыми числами, и $r$ не может быть больше $n$ — нельзя выбрать больше элементов, чем у вас есть. Если $r > n$ или любое из полей оставлено пустым, результат остается пустым.

Формула

Число сочетаний задается биномиальным коэффициентом:

${}^{n}C_{r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Здесь $n!$ (n факториал) — это произведение всех положительных целых чисел до $n$, так что $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$. По соглашению $0! = 1$, поэтому выбор нуля элементов или выбор их всех всегда дает ровно одно сочетание.

Несколько полезных тождеств следуют непосредственно из формулы:

1. $\binom{n}{0} = 1$ — есть один способ не выбрать ничего.
2. $\binom{n}{n} = 1$ — есть один способ выбрать всё.
3. $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ — выбрать $r$ элементов, чтобы оставить, — это то же самое, что выбрать $n-r$ элементов, чтобы исключить.

Разобранные примеры

1. Пример 1: Выбрать 2 элемента из 5. $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$.
2. Пример 2: Выбрать 3 элемента из 10. $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\,7!} = \frac{3628800}{6 \times 5040} = 120$.
3. Пример 3: Выбрать все 5 из 5. $\binom{5}{5} = \frac{5!}{5!\,0!} = 1$.
4. Пример 4: Выбрать 0 из 5. $\binom{5}{0} = \frac{5!}{0!\,5!} = 1$.

Практические замечания

• Сочетания считают неупорядоченные выборки. Если расположение имеет значение — например, рассадка людей в ряд — используйте размещения, где ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$.
• Значения быстро растут из-за факториалов, поэтому даже скромные входные данные могут давать очень большие числа.
• Сочетания лежат в основе теории вероятностей, биномиального распределения, шансов в лотерее, подсчета карточных раскладов и задач комбинаторного проектирования.

Часто задаваемые вопросы

В чем разница между сочетаниями и размещениями?

В сочетаниях порядок выбранных элементов не имеет значения, поэтому $\{A, B\}$ и $\{B, A\}$ считаются одной выборкой. В размещениях порядок важен, поэтому они считаются как две. В результате для одних и тех же $n$ и $r$ размещений всегда не меньше, чем сочетаний.

Почему выбор 0 элементов равен 1?

Поскольку $0! = 1$, формула дает $\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!\,n!} = 1$. Интуитивно есть ровно один способ не выбрать ничего вообще — пустая выборка.

Может ли r быть больше n?

Нет. Нельзя выбрать больше элементов, чем существует в множестве, поэтому $\binom{n}{r}$ определено только для $0 \le r \le n$. Этот калькулятор возвращает пустой результат, когда $r > n$.