Калькулятор перестановок

Что такое калькулятор перестановок?

Калькулятор перестановок сообщает, сколько различных упорядоченных расположений можно составить, выбрав $r$ элементов из большего множества $n$ различных элементов. Поскольку порядок имеет значение, выбор элемента A, а затем B считается отдельно от выбора B, а затем A.

Перестановки встречаются всякий раз, когда нужно посчитать последовательности: распределение золотых, серебряных и бронзовых медалей среди бегунов, выбор председателя, заместителя председателя и казначея из клуба, или подсчёт того, сколько различных паролей или вариантов расположения PIN-кода возможно.

Как это работает?

Введите общее число элементов $n$ и сколько из них вы хотите расположить $r$. Калькулятор вычисляет стандартную формулу перестановки и мгновенно возвращает результат. Он ожидает целые неотрицательные числа и требует $r \le n$ — нельзя расположить больше элементов, чем у вас есть.

Число перестановок из $r$ элементов, взятых из $n$, равно:

${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$

Здесь $n!$ (читается «n факториал») — это произведение всех положительных целых чисел до $n$, и $0! = 1$ по определению. В отличие от сочетания, перестановка различает разные порядки одной и той же выборки.

Примеры использования

• n = 5, r = 2. ${}^{5}P_{2} = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$ упорядоченных пар.
• n = 10, r = 3. ${}^{10}P_{3} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$ расположений.
• n = 5, r = 5. ${}^{5}P_{5} = \frac{5!}{0!} = 120$, что попросту равно $5!$ — каждое полное упорядочивание всех пяти элементов.
• n = 5, r = 0. ${}^{5}P_{0} = \frac{5!}{5!} = 1$, единственное «пустое» расположение.

Если вы запросите $r > n$ — например $n = 3$ и $r = 5$ — результат остаётся пустым, поскольку допустимого расположения не существует.

Практические замечания

Когда порядок не имеет значения, вам нужно вместо этого сочетание, которое делит число перестановок на $r!$, чтобы убрать повторяющиеся порядки. Строительным блоком обоих является факториал, а рост этих значений тесно связан с повторным умножением, рассматриваемым в калькуляторе степеней.

Поскольку факториалы растут очень быстро, число перестановок может становиться огромным: ${}^{20}P_{20} = 20!$ уже превышает $2.4 \times 10^{18}$. Для больших $n$ результат является приближением, ограниченным точностью с плавающей запятой.