Калькулятор факториала

Что такое калькулятор факториала?

Калькулятор факториала находит факториал неотрицательного целого числа, который записывается как $n!$ и читается «n факториал». Факториал — это произведение всех положительных целых чисел от $1$ до $n$ включительно. Введите значение $n$, и калькулятор сразу выдаст $n!$.

Факториалы растут чрезвычайно быстро: $5!$ уже равен $120$, а $10!$ превышает три миллиона. Из-за такого стремительного роста факториалы встречаются повсюду в комбинаторике, теории вероятностей, алгебре и математическом анализе всякий раз, когда нужно подсчитать число способов расположения объектов.

Как это работает?

Факториал определяется как произведение всех положительных целых чисел до $n$:

$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

Существует один важный особый случай. Факториал нуля по определению равен единице:

$0! = 1$

Это не случайность и не исключение, добавленное задним числом. Существует ровно один способ расположить ноль объектов (пустое расположение), поэтому $0! = 1$ сохраняет согласованность формул подсчёта. Это также следует из рекурсивного правила $n! = n \times (n-1)!$: при $n = 1$ получаем $1! = 1 \times 0!$, что верно только при $0! = 1$.

Факториалы определены только для неотрицательных целых чисел. У отрицательного числа или дроби, такой как $2.5$, нет обычного факториала, поэтому для таких входных данных калькулятор оставляет результат пустым. (Гамма-функция расширяет эту идею на другие числа, но это выходит за рамки базового факториала.)

Разобранные примеры

• $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
• $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
• $10! = 10 \times 9 \times 8 \times \cdots \times 2 \times 1 = 3{,}628{,}800$
• $1! = 1$
• $0! = 1$

Обратите внимание на работу рекурсивного приёма: как только вы знаете, что $5! = 120$, вычисление $6!$ — это просто $6 \times 120 = 720$, и $10!$ строится так же, шаг за шагом.

Практические заметки

Факториалы — это движок, лежащий в основе перестановок и сочетаний. Число способов расположить $n$ различных элементов по порядку равно $n!$, а формулы для перестановок $P(n, r)$ и сочетаний $C(n, r)$ обе записываются через факториалы. Если вы подсчитываете расположения или выборки, посмотрите калькулятор перестановок на https://www.mega-calculator.com/ru/math/permutations/ и калькулятор сочетаний на https://www.mega-calculator.com/ru/math/combinations/.

Поскольку факториалы стремительно увеличиваются в размере, этот калькулятор принимает значения до $170$. За этой границей $n!$ превышает наибольшее конечное значение, которое может представить стандартное компьютерное число, поэтому результат оставляется пустым, а не выдаётся как бесконечность. Для повседневных задач подсчёта и теории вероятностей этого диапазона более чем достаточно.