Калькулятор теоремы косинусов

Что такое калькулятор теоремы косинусов?

Калькулятор теоремы косинусов решает треугольник, когда вы знаете две его стороны и угол между ними (случай «сторона-угол-сторона»). Вы вводите сторону $a$, сторону $b$ и угол между ними $C$, и калькулятор возвращает длину третьей стороны $c$ вместе с двумя оставшимися углами $A$ и $B$.

Теорема косинусов — это обобщение теоремы Пифагора. Когда угол между сторонами в точности равен $90°$, член с косинусом обращается в ноль, и формула сводится обратно к $c^2 = a^2 + b^2$ — привычному соотношению для прямоугольного треугольника.

Как работает калькулятор?

Третья сторона получается непосредственно из теоремы косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

Извлечение квадратного корня даёт $c$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

Когда все три стороны известны, угол, лежащий против стороны $a$, находится преобразованием той же теоремы:

$A = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

Поскольку сумма трёх внутренних углов любого треугольника равна $180°$, последний угол следует сразу же:

$B = 180° - A - C$

Чтобы треугольник существовал, угол между сторонами $C$ должен лежать строго между $0°$ и $180°$, а обе заданные стороны должны быть положительными.

Разобранные примеры

Прямоугольный треугольник. При $a = 3$, $b = 4$ и $C = 90°$ член с косинусом исчезает, поэтому $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Оставшиеся углы равны $A \approx 36.8699°$ и $B \approx 53.1301°$, что восстанавливает классический треугольник 3-4-5.

Косоугольный треугольник. При $a = 5$, $b = 7$ и $C = 60°$ мы получаем $c = \sqrt{5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60°} = \sqrt{25 + 49 - 35} = \sqrt{39} \approx 6.2450$.

Практические замечания

Теорема косинусов наиболее полезна, когда теорема синусов не может начать решение, — а именно в случаях сторона-угол-сторона и сторона-сторона-сторона, где не известны одновременно сторона и противолежащий ей угол. Геодезисты, навигаторы и инженеры опираются на неё, чтобы вычислять расстояния через базисную линию, когда можно измерить только два отрезка и угол между ними.

Если же вы знаете два угла и сторону или две стороны и угол, не лежащий между ними, теорема синусов — более прямой инструмент. Для частного случая прямоугольного треугольника можно также воспользоваться калькулятором гипотенузы, а чтобы вычислить сам косинус угла между сторонами, смотрите калькулятор тригонометрии.