Калькулятор теоремы синусов

Что такое калькулятор теоремы синусов?

Калькулятор теоремы синусов решает треугольник, когда вы знаете один угол, сторону, лежащую прямо напротив него, и второй угол. Из этих трёх значений он находит третий угол и две недостающие стороны. Теорема синусов — это соотношение, связывающее углы любого треугольника с длинами противолежащих им сторон, поэтому она работает для остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников одинаково, а не только для прямоугольных треугольников.

В этом калькуляторе вы вводите угол $A$ в градусах, сторону $a$ (сторону, противолежащую углу $A$) и угол $B$ в градусах. Он возвращает угол $C$, сторону $b$ и сторону $c$.

Как это работает?

Теорема синусов гласит, что отношение каждой стороны к синусу противолежащего ей угла одинаково для всех трёх сторон треугольника:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Поскольку внутренние углы любого треугольника в сумме дают $180^\circ$, третий угол находится сразу же:

$C = 180^\circ - A - B$

Как только каждый угол известен и задана одна противолежащая сторона ($a$), оставшиеся стороны получаются прямо из приведённых выше отношений:

$b = \frac{a \, \sin B}{\sin A} \qquad c = \frac{a \, \sin C}{\sin A}$

Чтобы эти формулы описывали настоящий треугольник, и $A$, и $B$ должны быть положительными, а их сумма должна быть меньше $180^\circ$. Если $A + B \ge 180^\circ$, допустимого треугольника не существует, и калькулятор оставляет результаты пустыми.

Разобранные примеры

Пример 1: треугольник 30-60-90

Пусть $A = 30^\circ$, $a = 10$ и $B = 60^\circ$. Сначала найдём недостающий угол:

$C = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

Теперь применим отношения. Поскольку $\sin 30^\circ = 0.5$, $\sin 60^\circ \approx 0.8660$ и $\sin 90^\circ = 1$:

$b = \frac{10 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 0.8660}{0.5} \approx 17.3205$

$c = \frac{10 \cdot \sin 90^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 1}{0.5} = 20$

Итак, $C = 90^\circ$, $b \approx 17.3205$ и $c = 20$.

Пример 2: равнобедренный прямоугольный треугольник

При $A = 45^\circ$, $a = 10$ и $B = 45^\circ$:

$C = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$

Поскольку $\sin 45^\circ = \sin B$, сторона $b$ равна стороне $a$:

$b = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 45^\circ} = 10$

$c = \frac{10 \cdot \sin 90^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{0.7071} \approx 14.1421$

У треугольника две равные стороны длиной $10$ и гипотенуза около $14.1421$.

Практические замечания

• Вводите оба угла в градусах. Калькулятор преобразует их внутри, прежде чем взять синус.
• Известная сторона $a$ должна быть той, что противолежит известному углу $A$; иначе отношения не сойдутся.
• Этот инструмент использует конфигурацию угол-угол-сторона (УУС), которая всегда даёт единственный треугольник. Более коварный «неоднозначный случай» сторона-сторона-угол (ССУ) — когда подходят два разных треугольника — здесь не обрабатывается.
• Когда вы, наоборот, знаете две стороны и угол между ними, обратитесь к калькулятору теоремы косинусов, а для простого синуса, косинуса и тангенса одного угла см. калькулятор тригонометрии.

Часто задаваемые вопросы

Когда следует использовать теорему синусов вместо теоремы косинусов?

Используйте теорему синусов, когда знаете угол вместе с противолежащей ему стороной, плюс ещё один угол или сторону (случаи УУС или УСУ). Используйте теорему косинусов, когда знаете две стороны и угол между ними или все три стороны.

Работает ли теорема синусов для непрямоугольных треугольников?

Да. Она применима к любому треугольнику — остроугольному, прямоугольному и тупоугольному. Это один из главных инструментов для решения треугольников, не являющихся прямоугольными.

Почему мои результаты пустые?

Результаты остаются пустыми, если поле не заполнено, если угол равен нулю или отрицателен, или если угол $A$ плюс угол $B$ составляет $180^\circ$ или больше, потому что ни один треугольник не может иметь такие углы.