Sinüs teoremi hesaplayıcı

Sinüs teoremi hesaplayıcı nedir?

Sinüs teoremi hesaplayıcı, bir açıyı, onun tam karşısındaki kenarı ve ikinci bir açıyı bildiğinizde bir üçgeni çözer. Bu üç değerden üçüncü açıyı ve eksik iki kenarı bulur. Sinüs teoremi, herhangi bir üçgenin açılarını karşılarındaki kenarların uzunluklarına bağlayan ilişkidir; bu nedenle yalnızca dik üçgenler için değil, dar açılı, dik açılı ve geniş açılı üçgenler için de aynı şekilde geçerlidir.

Bu hesaplayıcıda $A$ açısını derece cinsinden, $a$ kenarını ($A$ açısının karşısındaki kenar) ve $B$ açısını derece cinsinden girersiniz. $C$ açısını, $b$ kenarını ve $c$ kenarını döndürür.

Nasıl çalışır?

Sinüs teoremi, her kenarın karşı açısının sinüsüne oranının, bir üçgenin üç kenarı için de aynı olduğunu söyler:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Herhangi bir üçgenin iç açıları $180^\circ$ topladığından, üçüncü açı hemen ortaya çıkar:

$C = 180^\circ - A - B$

Her açı bilindiğinde ve karşı kenarlardan biri ($a$) verildiğinde, kalan kenarlar doğrudan yukarıdaki oranlardan gelir:

$b = \frac{a \, \sin B}{\sin A} \qquad c = \frac{a \, \sin C}{\sin A}$

Bu formüllerin gerçek bir üçgeni tanımlaması için hem $A$ hem de $B$ pozitif olmalı ve toplamları $180^\circ$‘den küçük olmalıdır. Eğer $A + B \ge 180^\circ$ ise geçerli bir üçgen yoktur ve hesaplayıcı sonuçları boş bırakır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: bir 30-60-90 üçgeni

$A = 30^\circ$, $a = 10$ ve $B = 60^\circ$ olduğunu varsayalım. Önce eksik açıyı bulun:

$C = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

Şimdi oranları uygulayın. $\sin 30^\circ = 0.5$, $\sin 60^\circ \approx 0.8660$ ve $\sin 90^\circ = 1$ olduğundan:

$b = \frac{10 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 0.8660}{0.5} \approx 17.3205$

$c = \frac{10 \cdot \sin 90^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 1}{0.5} = 20$

Böylece $C = 90^\circ$, $b \approx 17.3205$ ve $c = 20$.

Örnek 2: bir ikizkenar dik üçgen

$A = 45^\circ$, $a = 10$ ve $B = 45^\circ$ ile:

$C = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$

$\sin 45^\circ = \sin B$ olduğundan, $b$ kenarı $a$ kenarına eşittir:

$b = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 45^\circ} = 10$

$c = \frac{10 \cdot \sin 90^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{0.7071} \approx 14.1421$

Üçgenin uzunluğu $10$ olan iki eşit kenarı ve yaklaşık $14.1421$ olan bir hipotenüsü vardır.

Pratik notlar

• Her iki açıyı da derece cinsinden girin. Hesaplayıcı, sinüsü almadan önce bunları dahili olarak dönüştürür.
• Bilinen kenar $a$, bilinen $A$ açısının karşısındaki kenar olmalıdır; aksi takdirde oranlar uyuşmaz.
• Bu araç, her zaman tek bir üçgen üreten açı-açı-kenar (AAK) yapılandırmasını kullanır. İki farklı üçgenin uyabildiği, daha çetrefilli kenar-kenar-açı (KKA) “belirsiz durum” burada ele alınmaz.
• Bunun yerine iki kenarı ve aralarındaki açıyı bildiğinizde kosinüs teoremi hesaplayıcıya başvurun ve tek bir açının yalın sinüs, kosinüs ve tanjantı için trigonometri hesaplayıcıya bakın.

Sıkça sorulan sorular

Kosinüs teoremi yerine sinüs teoremini ne zaman kullanmalıyım?

Bir açıyı ve karşısındaki kenarı, ayrıca bir açı veya kenar daha bildiğinizde (AAK veya AKA durumları) sinüs teoremini kullanın. İki kenarı ve aralarındaki açıyı ya da üç kenarın tümünü bildiğinizde kosinüs teoremini kullanın.

Sinüs teoremi dik olmayan üçgenler için işe yarar mı?

Evet. Her üçgene uygulanır — dar açılı, dik açılı ve geniş açılı. Dik açılı olmayan üçgenleri çözmek için başlıca araçlardan biridir.

Sonuçlarım neden boş?

Bir alan eksikse, bir açı sıfır veya negatifse ya da $A$ açısı artı $B$ açısı $180^\circ$ veya daha fazlaysa sonuçlar boş kalır, çünkü hiçbir üçgen bu açılara sahip olamaz.