Kritik Değer Hesaplayıcı

Kritik değer nedir?

Kritik değer, bir test istatistiğinin sıfır hipotezini reddetmeye yol açan değerlerini, açmayanlardan ayıran kesme noktasıdır. Bir anlamlılık düzeyi ve bir test yönü seçtikten sonra kritik değer, ret bölgesinin kenarını işaretler. Hesapladığınız istatistik bu kenarın ötesine düşerse, sonuç seçilen düzeyde istatistiksel olarak anlamlıdır.

Bu hesaplayıcı, hipotez testlerinde en sık karşılaştığınız dört dağılım için kritik değeri döndürür: standart normal (Z), Student t, ki-kare ve F. Dağılımı, test türünü (çift kuyruklu, sağ kuyruklu veya sol kuyruklu), anlamlılık düzeyini ve dağılımın gerektirdiği yerlerde serbestlik derecelerini seçin.

Hesaplayıcı nasıl çalışır?

Her kritik değer, dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonunun bir kuantilidir. $F$ seçilen dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonu ise, kuantil (ters) fonksiyonu $F^{-1}$ bir olasılığı, o olasılıkta yer alan değere geri çevirir. Hesaplayıcı, $F^{-1}$ değerini anlamlılık düzeyiniz $\alpha$ ve test yönünüzün belirlediği olasılıkta değerlendirir.

Z veya t gibi simetrik bir dağılım için üç test türü şu olasılıklara karşılık gelir:

Ki-kare ve F dağılımları simetrik değildir, bu nedenle çift kuyruklu bir test biri alt biri üst olmak üzere iki farklı sınır üretir:

Kuantillerin hesaplanması

Standart normal kuantil $\Phi^{-1}$ kapalı bir biçime sahip değildir, bu yüzden hesaplayıcı bir Halley adımıyla iyileştirilmiş rasyonel bir yaklaşım (Acklam yöntemi) kullanır; bu, ters normali tam çift duyarlıkta verir. t, ki-kare ve F kuantilleri, düzenlileştirilmiş tamamlanmamış beta ve gama fonksiyonlarından kurulan kümülatif dağılım fonksiyonlarının sayısal olarak tersine çevrilmesiyle bulunur.

Çözülmüş örnekler

1. Z, çift kuyruklu, $\alpha = 0.05$. Anlamlılık düzeyini her iki kuyruğa bölün ve normal kuantili $1 - \tfrac{0.05}{2} = 0.975$ noktasında değerlendirin: $\Phi^{-1}(0.975) = 1.959964 \approx \pm 1.96$ Ret bölgesi, $-1.96$ altındaki veya $1.96$ üstündeki her şeydir.

2. Z, sağ kuyruklu, $\alpha = 0.05$. Tek bir üst kuyruk: $\Phi^{-1}(0.95) = 1.644854 \approx 1.64$

3. t, sağ kuyruklu, $d = 15$, $\alpha = 0.05$. t kuantilini 15 serbestlik derecesiyle $0.95$ noktasında değerlendirin: $t^{-1}(0.95;\, 15) \approx 1.7531$ Ret bölgesi $(1.7531, \infty)$ aralığıdır.

4. t, çift kuyruklu, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. $0.975$ noktasında değerlendirin: $t^{-1}(0.975;\, 10) \approx \pm 2.228$

5. Ki-kare, çift kuyruklu, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. Alt ve üst sınırlar $0.025$ ve $0.975$ değerlerinden gelir: $\chi^{2-1}(0.025;\, 10) \approx 3.247 \qquad \chi^{2-1}(0.975;\, 10) \approx 20.483$

6. F, sağ kuyruklu, $d = 5$, $d_2 = 10$, $\alpha = 0.05$. 5 pay ve 10 payda serbestlik derecesiyle: $F^{-1}(0.95;\, 5,\, 10) \approx 3.326$

Pratik notlar

• Anlamlılık düzeyi $\alpha$ kesinlikle $0$ ile $1$ arasında olmalıdır. Yaygın seçimler $0.10$, $0.05$ ve $0.01$ değerleridir.
• Anakütle standart sapması biliniyorsa veya örneklem büyükse Z dağılımını kullanın; tahmini standart sapmalı küçük örneklemler için t dağılımına geçin.
• Ki-kare dağılımı varyans ve uyum iyiliği testleri için, F dağılımı ise iki varyansı karşılaştırmak veya varyans analizi için kullanılır.
• Serbestlik dereceleri t, ki-kare ve F dağılımlarına biçim verir. t dağılımının serbestlik dereceleri arttıkça kritik değerleri ilgili Z değerlerine yaklaşır.

Sık sorulan sorular

Tek kuyruklu ve çift kuyruklu kritik değer arasındaki fark nedir?

Tek kuyruklu bir test tüm ret bölgesini tek bir kuyruğa yerleştirir, bu yüzden $F^{-1}(1 - \alpha)$ (sağ) veya $F^{-1}(\alpha)$ (sol) kullanır. Çift kuyruklu bir test $\alpha$ değerini her iki kuyruğa böler ve her kritik değeri merkezden daha uzağa iter.

Ki-kare kritik değeri neden serbestlik derecelerine ihtiyaç duyar?

Ki-kare dağılımı serbestlik dereceleriyle biçim değiştirir, bu yüzden tek bir anlamlılık düzeyi farklı serbestlik dereceleri için farklı kesme noktalarına karşılık gelir. Aynı durum t ve F dağılımları için de geçerlidir.

Kritik değer p-değeriyle nasıl ilişkilidir?

İkisi aynı kararın iki yüzüdür. Test istatistiği kritik değeri aştığında sıfır hipotezini reddedersiniz; bu da tam olarak p-değerinin $\alpha$ değerinden küçük olduğu durumdur.

Bir kritik değer negatif olabilir mi?

Evet. Sol kuyruklu bir Z veya t kritik değeri, alt kuyrukta yer aldığı için negatiftir. Ki-kare ve F değerleri her zaman negatif değildir, çünkü bu dağılımlar yalnızca negatif olmayan sayılar için tanımlıdır.