Zar Olasılığı Hesaplayıcı

Zar olasılığı hesaplayıcı nedir?

Zar olasılığı hesaplayıcı, birkaç zarı aynı anda atıp gelen yüzleri topladığınızda belirli bir toplamın ne kadar olası olduğunu bulur. Tek bir zar atmak kolaydır: her yüz eşit olasılıklıdır, bu yüzden altı yüzlü bir zar herhangi bir sayıyı altıda bir sıklıkla gösterir. Zarları toplamak ise öyle değildir: aralığın ortasındaki toplamlara birçok farklı yoldan ulaşılabilirken uçlardaki toplamlara yalnızca tek bir yoldan ulaşılır. İki altı yüzlü zarda 7’nin en sık, 2’nin ise en nadir sonuç olmasının nedeni budur.

Hesaplayıcı, 4, 6, 8, 10, 12, 20 veya 100 yüzlü zarlar için ve aynı anda bir ila on iki zar için “İki zarla toplamı tam olarak 7 atma olasılığı nedir?” ya da “10 veya daha fazla atma olasılığı nedir?” gibi soruları yanıtlar.

Zar toplamı neden bir yazı tura problemi değildir

Bir dizi yazı tura atışında yazı sayısını saymak binom bir problemdir: her atışın iki sonucu vardır ve her yazı sayaca tam olarak bir ekler. Zar toplamları farklıdır. Her zar 1 ile $s$ arasında herhangi bir değer katar, dolayısıyla toplamın dağılımı konvolüsyon ile kurulur: elinizdeki dağılım, bir zar daha eklendikçe o zarın 1’den $s$‘ye kadar düzgün dağılımıyla tekrar tekrar birleştirilir.

Sonuç, zar eklendikçe (kendi aralığına göre) daha düzgün ve daha dar hale gelen tümsek biçimli bir dağılımdır; ancak bu dağılım binom değildir ve tek bir binom katsayısıyla anlatılamaz. Yazı tura formülünün zar toplamları için yanlış cevap vermesinin ve hesaplayıcının bunun yerine dağılımın tamamını kurmasının nedeni budur.

Hesaplayıcı nasıl çalışır?

Dört değer girersiniz:

• Zar sayısı ($n$) — kaç zarın atılıp toplandığı, 1’den 12’ye kadar.
• Zar başına yüz sayısı ($s$) — her zarın yüz sayısı: 4, 6, 8, 10, 12, 20 veya 100. Tüm zarların aynı ve hilesiz olduğu varsayılır.
• Toplam için koşul — toplamın hedefinize tam olarak eşit mi, en az mı, en fazla mı, büyük mü yoksa küçük mü olmasını istediğiniz.
• Hedef toplam ($t$) — ilgilendiğiniz toplam.

Hesaplayıcı daha sonra olası tüm toplamların dağılımını kurar, koşulunuzu sağlayan sonuçları sayar ve şunları bildirir:

• yüzde olarak olasılık,
• 0 ile 1 arasında ondalık olarak olasılık,
• “birde bir …” biçiminde olasılık,
• elverişli sonuçların sayısı (koşulu sağlayan yolların sayısı),
• toplam sonuç sayısı ($s^{n}$).

Olası aralığın dışındaki bir hedef hata değildir; yalnızca olasılığı 0’dır. Atabileceğiniz en küçük toplam $n$ (her zar 1 gösterir), en büyüğü ise $n \times s$‘dir (her zar en yüksek yüzünü gösterir); bu yüzden iki altı yüzlü zarda 13 istemek doğru biçimde 0 döndürür.

Formüller

$N(n, s, t)$, $s$ yüzlü $n$ zarla $t$ toplamını elde etmenin yol sayısı olsun. $s^{n}$ sıralı sonucun her biri eşit olasılıklı olduğundan, tam bir toplamın olasılığı şöyledir:

Sayımların kendisi bir konvolüsyondan gelir. $N(0, s, 0) = 1$ ile başlanır ve her yeni zar mevcut sayımların her birini $s$ yüze dağıtır:

Birikimli durumlar tek tek sayımları toplar:

Toplam her zaman bir tam sayı olduğundan, kesin karşılaştırmalar aynı toplamların bir birim kaydırılmış halidir:

$s$‘yi “aşan” zarlar üzerinde içerme-dışarma ilkesi uygulanarak sayım için kapalı bir form da elde edilir:

Son olarak, “birde bir” değeri olasılığın tersidir:

Çözümlü örnekler

1. İki altı yüzlü zarla tam olarak 7. $n = 2$, $s = 6$, $t = 7$ için 7 toplamı 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 ve 6+1 olarak elde edilebilir; yani $6^{2} = 36$ sonuçtan 6’sı elverişlidir. Buna göre $P = 6/36 \approx 0.166667$, yaklaşık %16,6667, yani altıda bir. Bu, iki zarla en olası toplamdır.

2. İki altı yüzlü zarla tam olarak 2. Yalnızca 1+1 işe yarar, dolayısıyla 36 sonuçtan 1’i elverişlidir: $P = 1/36 \approx 0.027778$, yaklaşık %2,7778, yani otuz altıda bir.

3. Üç altı yüzlü zarla tam olarak 10. $n = 3$, $s = 6$, $t = 10$ için $6^{3} = 216$ sonuçtan 27’si elverişlidir, dolayısıyla $P = 27/216 = 0.125$ — tam olarak %12,5, yani sekizde bir. 11 ile birlikte üç zarlı dağılımın tepesidir.

4. İki altı yüzlü zarla en az 10. Uygun toplamlar 10, 11 ve 12’dir; sırasıyla 3, 2 ve 1 yolla elde edilirler — 36 sonuçtan 6’sı, dolayısıyla $P = 6/36 \approx 16.6667\%$.

5. İki altı yüzlü zarla 10’dan büyük. “Büyük” seçeneği 10’un kendisini dışarıda bırakır, geriye 11 ve 12 toplamları kalır: 36 sonuçtan $2 + 1 = 3$ tanesi, dolayısıyla $P = 3/36 \approx 8.3333\%$. Simetrik durum olan “4’ten küçük” ise 2 ve 3 toplamlarını bırakır ve aynı $3/36$ değerini verir.

6. İki altı yüzlü zarla tam olarak 13. Mümkün olan en büyük toplam $2 \times 6 = 12$‘dir, dolayısıyla 0 elverişli sonuç vardır ve $P = 0$.

7. Dört dört yüzlü zarla tam olarak 10. $n = 4$, $s = 4$, $t = 10$ için $4^{4} = 256$ sonuçtan 44’ü elverişlidir, dolayısıyla $P = 44/256 \approx 0.171875$, yaklaşık %17,1875.

Pratik notlar

• Zar toplamının dağılımı her zaman $n(s+1)/2$ etrafında simetriktir. İki altı yüzlü zarda bu merkez 7’dir; üç zarda 10,5’tir, bu yüzden 10 ile 11 en olası toplam olarak başa baştır.
• En küçük toplam $n$ için “en az” ya da en büyük toplam $n \times s$ için “en fazla” seçildiğinde olasılık her zaman 1 çıkar, çünkü her atış koşulu sağlar.
• “Birde bir” değeri yalnızca olasılık sıfırdan büyükken gösterilir; imkânsız bir toplamın anlamlı bir karşılığı yoktur.
• Elverişli ve toplam sonuç sayıları, yalnızca $s^{n}$ tam bir tam sayı olacak kadar küçük kaldığı sürece gösterilir. On iki adet yüz yüzlü zarda $100^{12} = 10^{24}$ sonuç bu sınırı aştığından sayımlar gizlenir; birer oran olan olasılıklar ise doğru kalmayı sürdürür.
• Tüm hesaplamalar hilesiz ve bağımsız zarlar varsayar. Hileli zarlar, yeniden atışlar, “en düşüğü at” kuralları ve patlayan zarlar dağılımı değiştirir ve burada kapsanmaz.
• Çok kez tekrarlanan iki sonuçlu bir deney için yazı tura olasılığı hesaplayıcı binom modelini kullanır. Bağımsız olayların olasılıklarını birleştirmek için olasılık hesaplayıcı, toplamlar yerine seçimleri saymak için kombinasyon hesaplayıcı sayfalarına bakın.