Standart Sapma Hesaplayıcı

Standart sapma hesaplayıcı nedir?

Bir standart sapma hesaplayıcı, bir sayı kümesinin ortalaması etrafında ne kadar yayıldığını ölçer. Veri noktalarınızı girin; hesaplayıcı anında adedi, ortalamayı, varyansı ve standart sapmayı, hem popülasyon hem de örneklem yorumu için bildirir. Küçük bir standart sapma, değerlerin ortalama etrafında sıkıca kümelendiği anlamına gelir; büyük bir standart sapma ise geniş bir şekilde dağıldıkları anlamına gelir.

Standart sapma, istatistikte en yaygın kullanılan dağılım ölçülerinden biridir. Kalite kontrolünden ve finanstan (burada genellikle oynaklık olarak adlandırılır) test puanı analizine ve bilimsel araştırmaya kadar her yerde karşımıza çıkar, çünkü değişkenliği orijinal verilerle aynı birimlerde ifade eder.

Popülasyon ile örneklem karşılaştırması

Varyans ve standart sapmanın birbiriyle yakından ilişkili iki sürümü vardır ve doğru olanı seçmek önemlidir.

• Popülasyon istatistikleri eksiksiz bir veri kümesini tanımlar; ilgilendiğiniz her üye dahildir. Popülasyon varyansı, karesi alınmış sapmaların toplamını adet $N$‘ye böler ve sembolleri $\sigma^2$ (varyans) ve $\sigma$ (standart sapma) şeklindedir.
• Örneklem istatistikleri, daha büyük bir popülasyondan çekilmiş daha küçük bir alt kümeyi tanımlar ve örneklemden o popülasyonun tamamının yayılımını tahmin etmek istersiniz. Örneklem varyansı $n$ yerine $n - 1$‘e böler (buna Bessel düzeltmesi denir); bu, bilinmeyen gerçek ortalama yerine örneklem ortalamasını kullanmaktan kaynaklanan yanlılığı düzeltir. Sembolleri $s^2$ (varyans) ve $s$ (standart sapma) şeklindedir.

Daha küçük olan $n - 1$‘e bölmek biraz daha büyük bir sonuç verdiğinden, aynı veriler için örneklem standart sapması her zaman popülasyon standart sapmasından büyük veya ona eşittir. Örneklem sürümü en az iki veri noktası gerektirir; tek bir değerle tahmin edilecek bir yayılım yoktur.

Nasıl çalışır?

Popülasyon standart sapması, her değerin ortalamadan uzaklığının karesinin ortalamasının kareköküdür:

$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}$$

burada $\mu$ popülasyon ortalaması ve $N$ değerlerin sayısıdır. Örneklem standart sapması, örneklem ortalaması $\bar{x}$‘i kullanır ve $n - 1$‘e böler:

$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$

Hesaplama dört adımı izler:

1. Tüm değerleri toplayıp kaç tane olduklarına bölerek ortalamayı bulun.
2. Her değerden ortalamayı çıkararak her sapmayı bulun.
3. Her sapmanın karesini alın ve kareleri birbirine ekleyin.
4. $N$ (popülasyon) veya $n - 1$ (örneklem) ile bölün, ardından standart sapmayı elde etmek için karekökünü alın. Karekökü atlamak elinizde varyansı bırakır.

Çözümlü örnek

$2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$ veri kümesini ele alalım; bunun $N = 8$ değeri vardır.

Önce ortalama:

$$\mu = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = \frac{40}{8} = 5$$

Sonra, $5$ ortalamasından karesi alınmış sapmalar $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$‘dır ve toplamları $32$‘dir. Popülasyon varyansı ve standart sapması şöyledir:

$$\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4 \qquad \sigma = \sqrt{4} = 2$$

Aynı sayıları bir örneklem olarak ele alarak, kareler toplamını $n - 1 = 7$‘ye bölün:

$$s^2 = \frac{32}{7} \approx 4.5714 \qquad s = \sqrt{4.5714} \approx 2.1381$$

Beklendiği gibi, örneklem standart sapması $2.1381$, popülasyon standart sapması $2$‘den büyüktür.

$1, 2, 3, 4, 5$ gibi daha küçük bir küme için ortalama $3$, karesi alınmış sapmaların toplamı $10$, popülasyon standart sapması $\sqrt{2} \approx 1.4142$ ve örneklem standart sapması $\sqrt{2.5} \approx 1.5811$‘dir.

Pratik notlar

Sayılarınız analiz ettiğiniz tüm grubu temsil ettiğinde popülasyon formülünü kullanın — örneğin, ilgilendiğiniz tek şey o sınıfsa, tek bir sınıftaki her öğrencinin test puanları gibi. Sayılarınız daha büyük bir grup hakkında bir çıkarım yapmak için kullanılan bir alt küme olduğunda örneklem formülünü kullanın; bu, anketlerde, deneylerde ve çoğu gerçek dünya istatistiğinde yaygın olan durumdur.

Standart sapma, doğal olarak ortalama ile ve gerçek ortalamayı sınırlamak için standart sapma ile örneklem büyüklüğünü kullanan güven aralığı gibi aralık tahminleriyle birlikte kullanılır. Ayrıca hipotez testinde kullanılan kritik değerlerin temelini oluşturur.

Sık sorulan sorular

Varyans ile standart sapma arasındaki fark nedir?

Varyans, ortalamadan karesi alınmış sapmaların ortalamasıdır ve karesi alınmış birimlerle ifade edilir. Standart sapma, varyansın kareköküdür; bu, ölçüyü verilerin orijinal birimlerine geri döndürür ve yorumlanmasını kolaylaştırır.

Popülasyon mu yoksa örneklem standart sapmasını mı kullanmalıyım?

Verileriniz ilgilenilen grubun tamamını kapsadığında popülasyon sürümünü ($\sigma$, $N$‘ye bölün) kullanın. Verileriniz daha büyük bir popülasyondan bir örneklem olduğunda ve o popülasyonun yayılımının yansız bir tahminini istediğinizde örneklem sürümünü ($s$, $n - 1$‘e bölün) kullanın.

Standart sapma sıfır veya negatif olabilir mi?

Sıfır olabilir; bu yalnızca veri kümesindeki her değer aynı olduğunda gerçekleşir — yayılım yoktur. Asla negatif olamaz, çünkü karesi alınmış (negatif olmayan) terimlerin toplamının kareköküdür.