弓形面积计算器

什么是圆弓形？

圆弓形是由一条弦及该弦所截的弧所围成的圆盘区域。想象一块完整的馅饼片（一个扇形），然后移除将弧两端与圆心相连的三角形楔块——剩下的就是弓形。它是位于弦与弧之间的曲线”帽”。

弓形取决于两个量：圆的半径 $r$ 和在圆心由弦所张开的中心角 $\theta$。角度可以用度、弧度或百分度给出；此计算器在内部进行转换。

关键概念

• 半径 (r) — 从圆心到其边界上任意一点的距离。
• 中心角 (θ) — 在圆心处由指向弦两端的两条半径所形成的角。
• 弦 — 连接弧两端的直线。
• 弧 — 弓形的曲线边界，与弦相对。
• 扇形 — 由弧和两条半径所围成的馅饼片状区域。
• 三角形 — 两边等于 $r$ 且夹角为 $\theta$ 的等腰三角形。

计算器如何工作？

弓形就是从扇形中移除三角形后剩下的部分：

$$A_{\text{segment}} = A_{\text{sector}} - A_{\text{triangle}}$$

当 $\theta$ 以弧度表示时，扇形面积为 $\frac{1}{2} r^2 \theta$，由两条半径所形成的等腰三角形的面积为 $\frac{1}{2} r^2 \sin\theta$。将后者从前者中减去即可得到标准公式。

公式

如果 $\theta$ 以弧度为单位：

$$A = \frac{r^2}{2} \bigl(\theta - \sin\theta\bigr)$$

如果 $\theta$ 以度数给出，则先以 $\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$ 转换为弧度，再代入公式。

计算实例

示例 1：小弓形，60°

一个圆的半径为 10 cm。弦截出 60° 的中心角。

转换：$\theta_{\text{rad}} = 60° \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472$。

$$A = \frac{10^2}{2} \left( \frac{\pi}{3} - \sin 60° \right) = 50 \cdot (1.0472 - 0.8660) \approx 9.0586 \text{ cm}^2$$

示例 2：半圆，π 弧度

对于半径 5 cm 和中心角 $\pi$ 弧度（180°），弦成为直径，弓形恰好是圆盘的一半：

$$A = \frac{5^2}{2} \bigl(\pi - \sin\pi\bigr) = \frac{25}{2} \cdot \pi \approx 39.270 \text{ cm}^2$$

示例 3：四分之一圆减去三角形，90°

对于半径 10 cm 和中心角 90°：

$$A = \frac{10^2}{2} \left( \frac{\pi}{2} - \sin 90° \right) = 50 \cdot \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) \approx 28.5398 \text{ cm}^2$$

这与直觉一致：四分之一扇形面积为 $25\pi \approx 78.54$ cm²，直角三角形面积为 $50$ cm²，二者之差即为弓形。

实际用途

• 工程 — 为流体流动问题计算部分填充的圆形罐或管道的横截面积（这与圆面积计算器在仅有一部分填充时所使用的计算相同）。
• 建筑与建造 — 在圆的曲线”帽”作为设计元素时确定窗户、拱门和凹入细节的尺寸。
• 制造 — 为冲压、切割或机加工的圆帽形零件估算用料。
• 土木工程 — 估算未满载的圆形渠道横截面的土方量。
• 几何与三角学 — 验证与圆扇形面积计算器和弦长计算器之间的关系。

注意事项

• 角度必须为正。0° 的角度产生一个面积为零的退化弓形。
• 当 $\theta = 2\pi$（360°）时，公式返回整个圆的面积。
• “小”弓形对应于小于 180° 的角度。对于超过 180° 的角度，公式给出包含圆心的更大”大”弓形。
• 半径与面积的单位必须一致：以米为单位的半径产生以平方米为单位的面积。单位选择器会自动重新换算结果。
• 结果在 $\pi$ 和正弦函数的精度范围内是精确的；舍入误差在日常使用中可以忽略不计。