组合计算器

什么是组合计算器？

组合计算器用于计算在不考虑选取顺序的情况下，从一个较大的集合中选出一组元素有多少种不同的方式。这个数量称为组合数，记作 ${}^{n}C_{r}$、“n 选 r”，或用二项式系数 $\binom{n}{r}$ 表示。这里 $n$ 是可用元素的总数，$r$ 是你选取的元素个数。

每当你只关心哪些元素最终被放在一起，而不关心选取它们的顺序时，就会出现组合。从 5 种配料中选 2 种，无论你先说出哪种配料，得到的都是同一种披萨，所以这是一个组合问题。如果顺序很重要，那么你计算的就是排列。

它是如何工作的？

输入元素总数 $n$ 和你想选取的个数 $r$，计算器会立即返回 ${}^{n}C_{r}$。两个值都必须是整数，且 $r$ 不能大于 $n$ — 你无法选取比你拥有的更多的元素。如果 $r > n$，或者任一字段留空，结果将保持为空。

公式

组合数由二项式系数给出：

${}^{n}C_{r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

这里 $n!$（n 的阶乘）是直到 $n$ 的所有正整数的乘积，因此 $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$。按照惯例 $0! = 1$，这就是为什么选取零个元素或选取全部元素总是恰好得到一种组合。

一些有用的恒等式可直接由公式得出：

1. $\binom{n}{0} = 1$ — 不选任何元素只有一种方式。
2. $\binom{n}{n} = 1$ — 选取全部元素只有一种方式。
3. $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ — 选取 $r$ 个保留与选取 $n-r$ 个舍弃是相同的。

计算示例

1. 示例 1：从 5 个中选 2 个。$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$。
2. 示例 2：从 10 个中选 3 个。$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\,7!} = \frac{3628800}{6 \times 5040} = 120$。
3. 示例 3：从 5 个中选全部 5 个。$\binom{5}{5} = \frac{5!}{5!\,0!} = 1$。
4. 示例 4：从 5 个中选 0 个。$\binom{5}{0} = \frac{5!}{0!\,5!} = 1$。

实用说明

• 组合计算的是无序选择。如果排列方式很重要 — 例如让人们排成一行就座 — 请使用排列，其中 ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$。
• 由于阶乘的存在，数值增长得很快，因此即使是不大的输入也可能产生非常大的结果。
• 组合是概率、二项分布、彩票概率、纸牌牌型计数以及组合设计问题的基础。

常见问题

组合和排列有什么区别？

在组合中，所选元素的顺序无关紧要，所以 $\{A, B\}$ 和 $\{B, A\}$ 算作一次选择。在排列中，顺序很重要，所以它们算作两次。因此，对于相同的 $n$ 和 $r$，排列的数量总是至少与组合一样多。

为什么选取 0 个元素等于 1？

因为 $0! = 1$，公式给出 $\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!\,n!} = 1$。直观地说，什么都不选恰好只有一种方式 — 空选择。

r 可以大于 n 吗？

不可以。你无法选取比集合中存在的更多的元素，所以 $\binom{n}{r}$ 仅在 $0 \le r \le n$ 时有定义。当 $r > n$ 时，此计算器返回空白结果。