阶乘计算器

什么是阶乘计算器？

阶乘计算器用于求非负整数的阶乘，记作 $n!$，读作”n 的阶乘”。阶乘是从 $1$ 到 $n$（含）的每个正整数的乘积。输入 $n$ 的值，计算器会立即返回 $n!$。

阶乘增长极快：$5!$ 已经是 $120$，而 $10!$ 超过三百万。由于这种快速增长，每当你需要计算对象可以排列的方式数量时，阶乘就会出现在组合数学、概率、代数和微积分的各个领域。

它是如何工作的？

阶乘定义为直到 $n$ 的所有正整数的乘积：

$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

有一个重要的特殊情况。零的阶乘被定义为等于一：

$0! = 1$

这并非偶然，也不是事后强加的例外。排列零个对象恰好只有一种方式（空排列），因此 $0! = 1$ 使计数公式保持一致。它也可以由递归规则 $n! = n \times (n-1)!$ 推出：令 $n = 1$ 得到 $1! = 1 \times 0!$，这只有在 $0! = 1$ 时才成立。

阶乘仅对非负整数有定义。负数或像 $2.5$ 这样的分数没有普通的阶乘，因此对于这些输入，计算器会将结果留空。（伽马函数将这一概念扩展到其他数，但那超出了基本阶乘的范围。）

计算示例

• $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
• $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
• $10! = 10 \times 9 \times 8 \times \cdots \times 2 \times 1 = 3{,}628{,}800$
• $1! = 1$
• $0! = 1$

注意递归捷径的作用：一旦你知道 $5! = 120$，计算 $6!$ 就只是 $6 \times 120 = 720$，而 $10!$ 也以同样的方式一步一步地构建出来。

实用提示

阶乘是排列和组合背后的引擎。将 $n$ 个不同的项目按顺序排列的方式数量是 $n!$，而排列 $P(n, r)$ 和组合 $C(n, r)$ 的公式都用阶乘来表示。如果你在计算排列或选择，请参阅 https://www.mega-calculator.com/zh/math/permutations/ 上的排列计算器和 https://www.mega-calculator.com/zh/math/combinations/ 上的组合计算器。

由于阶乘的规模会急剧膨胀，此计算器接受的值最大为 $170$。超过这一点后，$n!$ 会超过标准计算机数字所能表示的最大有限值，因此结果会被留空，而不是报告为无穷大。对于日常的计数和概率工作，这一范围已经绰绰有余。