排列计算器

什么是排列计算器？

排列计算器告诉您，从 $n$ 个不同元素组成的较大集合中选出 $r$ 个元素，可以构成多少种不同的有序排列。由于顺序很重要，先选元素 A 再选元素 B 与先选 B 再选 A 是分开计数的。

每当您需要对序列计数时，排列就会出现：为跑步选手分配金牌、银牌和铜牌，从俱乐部中选出主席、副主席和司库，或者计算有多少种不同的密码或 PIN 排列方式。

它是如何工作的？

输入元素总数 $n$ 以及您想要排列的数量 $r$。计算器会计算标准的排列公式并即时返回结果。它要求输入整数且非负数，并需要 $r \le n$ — 您不能排列比您拥有的更多的元素。

从 $n$ 中取出 $r$ 个元素的排列数为：

${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$

这里 $n!$（读作“n 阶乘”）是直到 $n$ 的所有正整数的乘积，并且根据定义 $0! = 1$。与组合不同，排列会区分同一选择的不同顺序。

使用示例

• n = 5, r = 2. ${}^{5}P_{2} = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$ 个有序对。
• n = 10, r = 3. ${}^{10}P_{3} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$ 种排列。
• n = 5, r = 5. ${}^{5}P_{5} = \frac{5!}{0!} = 120$，这就是 $5!$ — 全部五个元素的每一种完整排序。
• n = 5, r = 0. ${}^{5}P_{0} = \frac{5!}{5!} = 1$，即唯一的“空”排列。

如果您要求 $r > n$ — 例如 $n = 3$ 且 $r = 5$ — 结果将留空，因为不存在有效的排列。

实用说明

当顺序不重要时，您需要的是组合，它将排列数除以 $r!$ 以去除重复的顺序。两者的基本构件都是阶乘，而这些计数的增长与指数计算器中探讨的重复乘法密切相关。

由于阶乘增长非常迅速，排列数可能变得极其庞大：${}^{20}P_{20} = 20!$ 已经超过 $2.4 \times 10^{18}$。对于较大的 $n$，结果是受浮点精度限制的近似值。