什么是临界值？
临界值是把导致拒绝原假设的检验统计量取值与不导致拒绝的取值分开的分界点。在你选择了显著性水平和检验方向之后，临界值标记出拒绝域的边界。如果你计算出的统计量超出这条边界，则结果在所选水平上具有统计显著性。
本计算器为假设检验中最常遇到的四种分布返回临界值：标准正态分布（Z）、学生 t 分布、卡方分布和 F 分布。请选择分布、检验类型（双尾、右尾或左尾）、显著性水平，并在分布需要时填写自由度。
计算器如何工作？
每个临界值都是该分布累积分布函数的一个分位数。若 F 是所选分布的累积分布函数，分位数（逆）函数 F−1 会把一个概率还原为位于该概率处的取值。计算器在由你的显著性水平 α 和检验方向决定的概率处求 F−1 的值。
对于像 Z 或 t 这样的对称分布，三种检验类型对应以下概率：
right-tailed: F−1(1−α)left-tailed: F−1(α)two-tailed: ±F−1(1−2α)
卡方分布和 F 分布并不对称，因此双尾检验会产生两个不同的界限，一个下界和一个上界：
lower: F−1(2α)upper: F−1(1−2α)
计算分位数
标准正态分位数 Φ−1 没有封闭形式，因此计算器采用有理逼近（Acklam 方法），再用一步 Halley 迭代加以精化，从而以完整的双精度给出逆正态值。t、卡方和 F 的分位数则通过数值反演它们的累积分布函数得到，这些函数由正则化不完全贝塔函数和伽马函数构建而成。
计算示例
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Z，双尾，α=0.05。 把显著性水平分摊到两个尾部，并在 1−20.05=0.975 处求正态分位数：
Φ−1(0.975)=1.959964≈±1.96
拒绝域是低于 −1.96 或高于 1.96 的所有取值。
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Z，右尾，α=0.05。 单个上尾：
Φ−1(0.95)=1.644854≈1.64
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t，右尾，d=15，α=0.05。 以 15 自由度在 0.95 处求 t 分位数：
t−1(0.95;15)≈1.7531
拒绝域为 (1.7531,∞)。
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t，双尾，d=10，α=0.05。 在 0.975 处求值：
t−1(0.975;10)≈±2.228
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卡方，双尾，d=10，α=0.05。 下界和上界分别来自 0.025 和 0.975：
χ2−1(0.025;10)≈3.247χ2−1(0.975;10)≈20.483
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F，右尾，d=5，d2=10，α=0.05。 分子自由度为 5，分母自由度为 10：
F−1(0.95;5,10)≈3.326
实用说明
- 显著性水平 α 必须严格介于 0 与 1 之间。常见取值为 0.10、0.05 和 0.01。
- 当总体标准差已知或样本较大时使用 Z 分布；当样本较小且标准差为估计值时改用 t 分布。
- 卡方分布用于方差检验和拟合优度检验，F 分布用于比较两个方差或进行方差分析。
- 自由度决定 t、卡方和 F 分布的形状。随着 t 的自由度增大，其临界值会趋近于相应的 Z 值。
常见问题
单尾临界值与双尾临界值有什么区别？
单尾检验把整个拒绝域放在单个尾部，因此使用 F−1(1−α)（右）或 F−1(α)（左）。双尾检验把 α 分摊到两个尾部，使每个临界值都离中心更远。
为什么卡方临界值需要自由度？
卡方分布会随自由度改变形状，因此同一显著性水平对不同的自由度对应不同的分界点。t 分布和 F 分布也是如此。
临界值与 p 值有何关系？
它们是同一决策的两面。当检验统计量超过临界值时，你就拒绝原假设，而这恰好是 p 值小于 α 的时刻。
临界值可以为负吗？
可以。左尾的 Z 或 t 临界值为负，因为它位于下尾。卡方值和 F 值始终非负，因为这些分布只对非负数有定义。