几何平均数计算器

什么是几何平均数计算器？

几何平均数计算器通过将一组正数全部相乘，再取与输入数值个数相匹配的根，来求出这组数的集中趋势。与将数值相加再除以个数的普通（算术）平均值不同，几何平均数建立在乘法之上，这使它在数据表示比率、比值或随时间复合增长的量时成为正确的选择。

输入您的数字，计算器会立即报告几何平均数以及所用数值的个数。由于几何平均数涉及所有数值的乘积，因此它仅对正数有定义——单个零会使乘积变为零，而负值会使根对于实数数据无定义，因此在这些情况下计算器会将结果留空。

它如何运作？

$n$ 个正值的几何平均数是它们乘积的 $n$ 次方根：

$$GM = \left(\prod_{i=1}^{n} x_i\right)^{1/n} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$

为了使较长列表的运算在数值上保持稳定，计算器通过对数计算同一数值——对输入的自然对数取平均，再对结果取指数：

$$GM = \exp\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln x_i\right)$$

两种形式给出完全相同的答案；对数版本只是在许多数值相乘时避免溢出。

计算示例

两个数。 对于列表 $2$ 和 $8$，乘积为 $16$，共有 $n = 2$ 个数值，因此几何平均数是 $16$ 的平方根：

$$GM = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$$

三个数。 对于 $2$、$4$ 和 $8$，乘积为 $64$，且 $n = 3$，因此几何平均数是 $64$ 的立方根：

$$GM = \sqrt[3]{2 \cdot 4 \cdot 8} = \sqrt[3]{64} = 4$$

相同的数值。 当每个数值都相同时，几何平均数等于该数值。对于 $3$、$3$ 和 $3$：

$$GM = \sqrt[3]{3 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{27} = 3$$

何时使用几何平均数

几何平均数在数值相乘而非相加时大放异彩。常见用途包括：

• 平均增长率和回报率。 对于逐年衡量的投资回报、人口增长或通货膨胀，增长因子的几何平均数给出真实的复合平均值——算术平均值会高估它。
• 比率和指数。 价格指数、纵横比以及以比率表示的其他量，用几何平均数可以正确地取平均。
• 跨越多个数量级的数据。 当数值跨越十的不同次幂时，几何平均数比算术平均值受极端项的扭曲要小得多。

对于单个数值，几何平均数就是该数值本身；而对于任何列表，它始终小于或等于同一组数的算术平均值，只有当所有数值都相同时才取等号。

常见问题

为什么数字必须是正数？ 几何平均数取决于所有数值的乘积。零会使乘积为零，而负值会使偶次方根对于实数无定义，因此只有当每个输入都大于零时，有意义的几何平均数才存在。要了解几何平均数与日常平均值的关系，请参阅平均值计算器；要衡量您的数据有多分散，请尝试标准差计算器。

它与中位数或众数有何不同？ 中位数和众数描述的是位置和频率，而非基于乘积的中心；均值、中位数和众数计算器涵盖了这些度量。几何平均数是真正的平均值，但它是为乘法型数据调整的平均值。