均值、中位数、众数计算器

什么是均值、中位数、众数计算器？

均值、中位数、众数计算器是一个统计工具，它接收一组数字并立即报告最常见的集中趋势和离散程度的度量：均值（算术平均值）、中位数（中间值）、众数（出现最频繁的值）、极差（最大值与最小值之间的差距）以及数量（您输入了多少个值）。

这五个数字是描述统计学的基础。均值、中位数和众数各自从不同角度描述数据集的“中心”，而极差则能让您快速了解数值的离散程度。无需手动逐一套用每个公式，您只需输入数字，计算器便会为您完成运算，这对于手动计数容易出错的大型数据集尤其便利。

它是如何工作的？

计算器读取您输入的每个数字，忽略任何空白行，然后对清理后的列表应用下列标准定义。

均值

均值是所有数值之和除以数值的个数：

$$\text{Mean} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

其中 $x_i$ 是每个数值，$n$ 是数量。

中位数

中位数是数据按升序排序后的中间值。当数量为奇数时，它是单个中间值；当数量为偶数时，它是两个中间值的平均：

$$\text{Median} = \begin{cases} x_{(n+1)/2} & n \text{ odd} \\[4pt] \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2 + 1}}{2} & n \text{ even} \end{cases}$$

众数

众数是出现最频繁的值（或多个值）。如果每个值都恰好出现一次，则没有众数，计算器会报告“无”。如果两个或更多值的最高频次相同，则该数据集是多峰的，每个胜出的值都会被列出。

极差

极差以最大值与最小值之间的差值来衡量离散程度：

$$\text{Range} = \max(x_i) - \min(x_i)$$

数量

数量就是 $n$，即您列表中有效数值的个数。

计算示例

示例 1：五个数字的集合

取数据集 $1, 2, 2, 3, 4$。

• 均值： $\dfrac{1 + 2 + 2 + 3 + 4}{5} = \dfrac{12}{5} = 2.4$
• 中位数： 排序后的中间值为 $2$。
• 众数： $2$ 出现两次，比任何其他值都多，所以众数是 $2$。
• 极差： $4 - 1 = 3$。
• 数量： $5$。

示例 2：没有重复的值

取数据集 $5, 3, 8, 1$。

• 均值： $\dfrac{5 + 3 + 8 + 1}{4} = \dfrac{17}{4} = 4.25$
• 中位数： 排序后，该集合为 $1, 3, 5, 8$；两个中间值为 $3$ 和 $5$，所以中位数为 $\dfrac{3 + 5}{2} = 4$。
• 众数： 每个值都出现一次，所以没有众数（计算器显示“无”）。
• 极差： $8 - 1 = 7$。

示例 3：不止一个众数

取数据集 $1, 2, 2, 3, 3$。这里 $2$ 和 $3$ 都出现两次，最高频次相同，所以该数据集是双峰的，众数报告为 $2, 3$。

实用说明

• 离群值会改变均值，而非中位数。 当数据集中包含少数极端值时，中位数往往比均值更能代表“典型”值。比较二者是发现偏态的快捷方法。
• 众数最适合用于类别数据。 对于鞋码、调查回答或任何会重复的值，众数会告诉您什么最常见；对于很少重复的连续测量值，“无”是正常的结果。
• 空白行会被忽略， 因此您可以将多余的行留空而不影响结果。

如果您只需要数字的平均值，https://www.mega-calculator.com/zh/statistics/average/ 上的专用工具是更快捷的选择，而 https://www.mega-calculator.com/zh/statistics/standard-deviation/ 和 https://www.mega-calculator.com/zh/statistics/critical-value/ 则在您从描述样本转向衡量其离散程度并对总体进行推断时提供帮助。