标准差计算器

什么是标准差计算器？

标准差计算器衡量一组数字围绕其均值的离散程度。输入你的数据点，计算器会即时给出个数、均值、方差和标准差——既包括对数据的总体解释，也包括样本解释。标准差小意味着数值紧密地聚集在平均数附近；标准差大意味着它们分布得很分散。

标准差是统计学中最常用的离散程度度量之一。从质量控制和金融（在那里常被称为波动率）到考试成绩分析和科学研究，它无处不在，因为它用与原始数据相同的单位来表达变异性。

总体与样本

方差和标准差有两个密切相关的版本，选择正确的那个很重要。

• 总体统计量描述一个完整的数据集——你所关心的每个成员都包含在内。总体方差将偏差平方和除以个数 $N$，其符号为 $\sigma^2$（方差）和 $\sigma$（标准差）。
• 样本统计量描述从更大总体中抽取的较小子集，而你想根据样本来估计整个总体的离散程度。样本方差除以 $n - 1$ 而非 $n$（这被称为贝塞尔校正），用以校正因使用样本均值而非未知真实均值所产生的偏差。其符号为 $s^2$（方差）和 $s$（标准差）。

由于除以较小的 $n - 1$ 会得到略大的结果，对于相同的数据，样本标准差总是大于或等于总体标准差。样本版本至少需要两个数据点；只有一个值时没有可估计的离散程度。

它是如何工作的？

总体标准差是每个值与均值之距离的平方的平均数的平方根：

$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}$$

其中 $\mu$ 是总体均值，$N$ 是值的个数。样本标准差使用样本均值 $\bar{x}$ 并除以 $n - 1$：

$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$

计算遵循四个步骤：

1. 把所有值相加并除以其个数，求出均值。
2. 从每个值中减去均值，求出每个偏差。
3. 将每个偏差平方，并把这些平方相加。
4. 除以 $N$（总体）或 $n - 1$（样本），然后取平方根得到标准差。跳过平方根则得到的是方差。

计算示例

考虑数据集 $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$，它有 $N = 8$ 个值。

首先，均值为：

$$\mu = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = \frac{40}{8} = 5$$

接着，相对于均值 $5$ 的偏差平方为 $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$，其和为 $32$。总体方差和总体标准差为：

$$\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4 \qquad \sigma = \sqrt{4} = 2$$

若把同样的数字当作样本处理，将平方和除以 $n - 1 = 7$：

$$s^2 = \frac{32}{7} \approx 4.5714 \qquad s = \sqrt{4.5714} \approx 2.1381$$

正如预期，样本标准差 $2.1381$ 大于总体标准差 $2$。

对于像 $1, 2, 3, 4, 5$ 这样较小的集合，均值为 $3$，偏差平方和为 $10$，总体标准差为 $\sqrt{2} \approx 1.4142$，样本标准差为 $\sqrt{2.5} \approx 1.5811$。

实用说明

当你的数字代表你正在分析的整个群体时，使用总体公式——例如，当某个班级就是你全部关心的对象时，该单个班级中每位学生的考试成绩。当你的数字是用来推断更大群体的某个子集时，使用样本公式，这是调查、实验和大多数现实统计中的常见情形。

标准差与平均数以及诸如置信区间之类的区间估计自然相配，置信区间利用标准差和样本量来界定真实均值。它也是假设检验中所用临界值的基础。

常见问题

方差和标准差有什么区别？

方差是相对于均值的偏差平方的平均数，以平方单位表示。标准差是方差的平方根，它将该度量还原到数据的原始单位，使其更易于解释。

我应该使用总体标准差还是样本标准差？

当你的数据涵盖整个所关心的群体时，使用总体版本（$\sigma$，除以 $N$）。当你的数据是来自更大总体的样本，并且你想得到该总体离散程度的无偏估计时，使用样本版本（$s$，除以 $n - 1$）。

标准差可以为零或为负吗？

它可以为零，这仅在数据集中每个值都相同时发生——没有离散。它永远不会为负，因为它是平方（非负）项之和的平方根。