平均绝对偏差计算器

什么是平均绝对偏差计算器？

平均绝对偏差计算器通过对每个值与均值的距离取平均，来衡量一组数字的离散程度。输入你的数据点，计算器会即时给出平均绝对偏差（MAD），以及均值和值的个数。MAD 小意味着数字紧密地聚集在平均数附近；MAD 大意味着它们分布得很分散。

与对每个偏差取平方的标准差不同，平均绝对偏差使用单纯的绝对距离。这使结果保持在与原始数据相同的单位中，并使其直观：MAD 就是数据点与均值之间的典型距离。

它是如何工作的？

平均绝对偏差是每个值与均值之间绝对差的平均数：

$$MAD = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$$

其中 $\bar{x}$ 是数据的均值，$n$ 是值的个数。计算遵循三个步骤：

1. 把所有值相加并除以其个数，求出均值。
2. 从每个值中减去均值，并用绝对值去掉符号，求出每个绝对偏差。
3. 把这些绝对偏差相加并除以 $n$，取其平均。

在第 2 步中取绝对值正是将 MAD 与朴素的平均偏差区分开来的关键：没有它，正偏差和负偏差总会相互抵消为零。

计算示例

考虑数据集 $1, 2, 3, 4, 5$，它有 $n = 5$ 个值。

首先，均值为：

$$\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3$$

接着，相对于均值 $3$ 的绝对偏差为 $2, 1, 0, 1, 2$，其和为 $6$。平均绝对偏差为：

$$MAD = \frac{6}{5} = 1.2$$

对于集合 $2, 2, 4, 4$，均值为 $3$，绝对偏差为 $1, 1, 1, 1$，于是：

$$MAD = \frac{1 + 1 + 1 + 1}{4} = 1$$

当每个值都相同时，例如 $10, 10, 10$，均值为 $10$，每个偏差为 $0$，平均绝对偏差为 $0$——根本没有离散。

实用说明

当你想要一种易于解释、且对极端值的过大影响具有抵抗力的变异性度量时，平均绝对偏差很受欢迎。由于它不对偏差取平方，单个远离的点对 MAD 的拉升小于对标准差的拉升，这使 MAD 成为对典型离散程度更稳健的概括。

它与提供偏差所参照的中心值的平均数自然相配，也与平均数、中位数和众数相配，以更全面地呈现数据集的中心与形态。MAD 永远不会为负，仅当每个值都等于均值时它才为零。