Arkussinus-Rechner

Was ist ein Arkussinus-Rechner?

Der Arkussinus-Rechner findet den Winkel, dessen Sinus einem von dir angegebenen Wert entspricht. Die Sinusfunktion nimmt einen Winkel und gibt ein Verhältnis zwischen -1 und 1 zurück; der Arkussinus (auch inverser Sinus genannt) lässt diese Beziehung rückwärts laufen, nimmt ein Verhältnis und gibt den Winkel zurück, der es erzeugt hat. Gib einen beliebigen Sinuswert im Bereich von -1 bis 1 ein, und der Rechner liefert den resultierenden Winkel sowohl in Grad als auch in Radiant.

Da sich die Sinusfunktion wiederholt und über alle Winkel hinweg nicht eineindeutig ist, ist der Arkussinus auf einen eingeschränkten Bereich definiert. Dieser Rechner gibt den Hauptwert zurück: einen Winkel zwischen $-90^\circ$ und $90^\circ$ (entsprechend zwischen $-\tfrac{\pi}{2}$ und $\tfrac{\pi}{2}$ Radiant).

Wie funktioniert er?

Der Arkussinus wird $\arcsin$ oder $\sin^{-1}$ geschrieben. Für einen Sinuswert $x$ ist der Winkel $\theta$

$\theta = \arcsin(x)$

Der Rechner wertet den Arkussinus in Radiant aus und rechnet ihn dann mithilfe von

$\theta_{\deg} = \arcsin(x) \cdot \frac{180}{\pi}$

in Grad um.

Wenn du einen Wert außerhalb des Intervalls $[-1, 1]$ eingibst, hat kein reeller Winkel diesen Sinus, sodass der Rechner das Ergebnis leer lässt.

Gelöste Beispiele

• Ein Sinuswert von $0.5$ ergibt $\arcsin(0.5) = 30^\circ$, also $0.5236$ Radiant.
• Ein Sinuswert von $0.7071$ ergibt $\arcsin(0.7071) = 45^\circ$, also $\tfrac{\pi}{4} \approx 0.7854$ Radiant.
• Ein Sinuswert von $1$ ergibt $\arcsin(1) = 90^\circ$, den größten Winkel, den die Funktion zurückgibt.
• Ein Sinuswert von $0$ ergibt $\arcsin(0) = 0^\circ$.

Praktische Hinweise

Der Arkussinus ist immer dann unverzichtbar, wenn du ein Seitenverhältnis in einem rechtwinkligen Dreieck kennst und den Winkel brauchst. Ist zum Beispiel die einem Winkel gegenüberliegende Seite halb so lang wie die Hypotenuse, beträgt das Verhältnis $0.5$ und der Winkel $30^\circ$. Er tritt auch in der Physik bei Problemen mit Wellenamplitude, Abschusswinkeln von Geschossen und Brechung auf.

Bedenke, dass der hier zurückgegebene Hauptwert nur einer von unendlich vielen Winkeln mit demselben Sinus ist. Für einen Winkel im zweiten Quadranten kannst du zum Beispiel die Identität $\sin(\theta) = \sin(180^\circ - \theta)$ verwenden, um die alternative Lösung zu erhalten. Um den umgekehrten Weg zu gehen und von einem Winkel auszugehen, nutze den Trigonometrie-Rechner. Für die verwandten Umkehrfunktionen siehe die Rechner für Arkuskosinus und Arkustangens.