Arkustangens-Rechner

Was ist ein Arkustangens-Rechner?

Der Arkustangens-Rechner beantwortet eine einfache Frage: „Welcher Winkel hat diesen Tangens?“ Du gibst einen Tangenswert ein, und er liefert den Winkel zurück, der ihn erzeugt. Die Operation heißt Arkustangens, geschrieben $\arctan$ oder $\tan^{-1}$, und sie ist die Umkehrung der gewöhnlichen Tangensfunktion.

Während der Tangens eines Winkels dir ein Verhältnis liefert, kehrt der Arkustangens den Vorgang um und gewinnt den Winkel zurück. Da sich die Tangensfunktion alle 180° wiederholt, gibt der Arkustangens den Hauptwert zurück — den einzigen Winkel im Bereich von $-90°$ bis $90°$ (ausschließlich), der zu deiner Eingabe passt. Das Ergebnis wird sowohl in Grad als auch in Radiant angezeigt.

Wie funktioniert der Rechner?

Der Zusammenhang zwischen einem Winkel und seinem Tangens lautet:

$\tan(\theta) = x$

Löst man nach dem Winkel auf, ergibt sich die Umkehrung:

$\theta = \arctan(x)$

Anders als Arkussinus und Arkuskosinus akzeptiert der Arkustangens jede reelle Zahl: Der Tangens eines Winkels wächst unbeschränkt, je näher der Winkel an $90°$ heranrückt, sodass es keine Einschränkung des Definitionsbereichs gibt. Sehr große Eingaben drücken das Ergebnis einfach immer näher an $\pm 90°$ heran, ohne diesen Wert je zu erreichen.

Um das Radiant-Ergebnis in Grad umzurechnen, multipliziere mit $\frac{180}{\pi}$:

$\theta_{\text{deg}} = \arctan(x) \times \frac{180}{\pi}$

Gelöste Beispiele

• Tangens = 1. Der Winkel, dessen Tangens 1 ist, beträgt $\theta = \arctan(1) = 45°$ (oder $0.7854$ Radiant). Das ist der klassische 45°-Winkel, bei dem die Gegenkathete und die Ankathete eines rechtwinkligen Dreiecks gleich lang sind.
• Tangens = 0. $\arctan(0) = 0°$ — eine flache, waagerechte Linie hat keine Steigung und somit den Winkel null.
• Tangens ≈ 1,7320508. $\arctan(1.7320508) = 60°$, weil $\tan(60°) = \sqrt{3} \approx 1.7320508$ ist.
• Tangens = -1. $\arctan(-1) = -45°$. Ein negativer Tangens liefert einen negativen Winkel und spiegelt die Linie unterhalb der Waagerechten wider.

Praktische Hinweise

Der Arkustangens ist eine der am häufigsten verwendeten inversen trigonometrischen Funktionen. Er taucht überall dort auf, wo du einen Winkel aus einer Steigung oder einem Verhältnis zweier Längen zurückgewinnen musst — zum Beispiel beim Bestimmen des Höhenwinkels aus einer horizontalen Entfernung und einer Höhe oder beim Berechnen der Richtung eines Vektors aus seinen x- und y-Komponenten.

In der Programmierung erweitert die zweistellige Variante atan2(y, x) diese Idee auf alle vier Quadranten und gibt Winkel über den vollen Bereich von $-180°$ bis $180°$ zurück. Dieser einstellige Rechner deckt den Hauptzweig ab, was du für die meisten Geometrie- und Steigungsprobleme brauchst. Für die verwandten inversen Funktionen siehe den Arkussinus-Rechner, und um in die entgegengesetzte Richtung von einem Winkel zu seinen Funktionen zu gelangen, verwende den Trigonometrie-Rechner.