Rechner für Würfelwahrscheinlichkeit

Was ist ein Rechner für Würfelwahrscheinlichkeit?

Ein Rechner für Würfelwahrscheinlichkeit ermittelt, wie wahrscheinlich eine bestimmte Augensumme ist, wenn Sie mehrere Würfel gleichzeitig werfen und die Augen addieren. Einen einzelnen Würfel zu werfen ist einfach: Jede Seite ist gleich wahrscheinlich, ein sechsseitiger Würfel zeigt also jede Zahl einmal in sechs Würfen. Würfel zu addieren ist es nicht: Summen in der Mitte des Bereichs lassen sich auf viele verschiedene Arten erreichen, die Extreme dagegen nur auf eine einzige. Deshalb ist 7 das häufigste Ergebnis bei zwei sechsseitigen Würfeln und 2 das seltenste.

Der Rechner beantwortet Fragen wie „Wie hoch ist die Chance, mit zwei Würfeln genau eine Summe von 7 zu würfeln?” oder „Wie hoch ist die Chance auf 10 oder mehr?” — für Würfel mit 4, 6, 8, 10, 12, 20 oder 100 Seiten und für einen bis zwölf Würfel gleichzeitig.

Warum die Augensumme kein Münzwurf-Problem ist

Kopf-Ergebnisse in einer Serie von Münzwürfen zu zählen ist ein binomiales Problem: Jeder Wurf hat zwei Ausgänge, und jeder Kopf trägt genau 1 zur Zählung bei. Bei Augensummen ist das anders. Jeder Würfel steuert einen Wert zwischen 1 und $s$ bei, sodass die Verteilung der Summe durch Faltung entsteht — die vorhandene Verteilung wird wiederholt mit der gleichförmigen Verteilung von 1 bis $s$ eines weiteren Würfels kombiniert.

Das Ergebnis ist eine glockenartige Verteilung, die mit jedem weiteren Würfel glatter und (im Verhältnis zu ihrer Spannweite) schmaler wird, aber sie ist nicht binomial, und kein einzelner Binomialkoeffizient beschreibt sie. Deshalb liefert eine Münzwurf-Formel für Augensummen das falsche Ergebnis und der Rechner baut stattdessen die vollständige Verteilung auf.

Wie funktioniert der Rechner?

Sie geben vier Werte an:

• Anzahl der Würfel ($n$) — wie viele Würfel geworfen und addiert werden, von 1 bis 12.
• Seiten pro Würfel ($s$) — die Anzahl der Flächen jedes Würfels: 4, 6, 8, 10, 12, 20 oder 100. Alle Würfel gelten als identisch und fair.
• Bedingung für die Summe — ob die Summe genau, mindestens, höchstens, mehr als oder weniger als Ihr Zielwert sein soll.
• Zielsumme ($t$) — die Summe, die Sie interessiert.

Der Rechner baut daraufhin die vollständige Verteilung aller möglichen Summen auf, zählt die Ergebnisse, die Ihre Bedingung erfüllen, und gibt aus:

• die Wahrscheinlichkeit in Prozent,
• die Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl zwischen 0 und 1,
• die Chance in der Form „eins zu …”,
• die Anzahl der günstigen Ergebnisse (die Möglichkeiten, die Bedingung zu erfüllen),
• die Anzahl der möglichen Ergebnisse ($s^{n}$).

Ein Zielwert außerhalb des möglichen Bereichs ist kein Fehler — er hat schlicht die Wahrscheinlichkeit 0. Die kleinste erreichbare Summe ist $n$ (jeder Würfel zeigt 1) und die größte ist $n \times s$ (jeder Würfel zeigt seine höchste Fläche); die Frage nach 13 bei zwei sechsseitigen Würfeln liefert daher korrekt 0.

Formeln

Sei $N(n, s, t)$ die Anzahl der Möglichkeiten, mit $n$ Würfeln mit $s$ Seiten die Summe $t$ zu würfeln. Da jedes der $s^{n}$ geordneten Ergebnisse gleich wahrscheinlich ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit einer exakten Summe

Die Anzahlen selbst stammen aus einer Faltung. Ausgehend von $N(0, s, 0) = 1$ verteilt jeder weitere Würfel jede vorhandene Anzahl auf die $s$ Flächen:

Die kumulierten Fälle summieren die einzelnen Anzahlen:

Die strengen Vergleiche sind dieselben Summen, um eins verschoben, denn eine Augensumme ist immer eine ganze Zahl:

Für die Anzahl gibt es auch eine geschlossene Form, die man durch Inklusion und Exklusion über die Würfel erhält, die über $s$ „überlaufen”:

Die Chance ist schließlich der Kehrwert der Wahrscheinlichkeit:

Gelöste Beispiele

1. Genau 7 mit zwei sechsseitigen Würfeln. Mit $n = 2$, $s = 6$, $t = 7$ lässt sich die Summe 7 als 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 und 6+1 bilden — 6 günstige Ergebnisse von $6^{2} = 36$. Also $P = 6/36 \approx 0.166667$, etwa 16,6667 %, was einer Chance von eins zu 6 entspricht. Das ist die wahrscheinlichste Summe bei zwei Würfeln.

2. Genau 2 mit zwei sechsseitigen Würfeln. Nur 1+1 funktioniert, es gibt also 1 günstiges Ergebnis von 36: $P = 1/36 \approx 0.027778$, etwa 2,7778 % oder eins zu 36.

3. Genau 10 mit drei sechsseitigen Würfeln. Mit $n = 3$, $s = 6$, $t = 10$ gibt es 27 günstige Ergebnisse von $6^{3} = 216$, also $P = 27/216 = 0.125$ — genau 12,5 % oder eins zu 8. Zusammen mit 11 ist das der Gipfel der Drei-Würfel-Verteilung.

4. Mindestens 10 mit zwei sechsseitigen Würfeln. Infrage kommen die Summen 10, 11 und 12, erreichbar auf 3, 2 bzw. 1 Arten — 6 Ergebnisse von 36, also $P = 6/36 \approx 16.6667\%$.

5. Mehr als 10 mit zwei sechsseitigen Würfeln. „Mehr als” schließt die 10 selbst aus, es bleiben die Summen 11 und 12: $2 + 1 = 3$ Ergebnisse von 36, also $P = 3/36 \approx 8.3333\%$. Der Spiegelfall „weniger als 4” lässt die Summen 2 und 3 übrig und ergibt dieselben $3/36$.

6. Genau 13 mit zwei sechsseitigen Würfeln. Die größtmögliche Summe ist $2 \times 6 = 12$, es gibt also 0 günstige Ergebnisse und $P = 0$.

7. Genau 10 mit vier vierseitigen Würfeln. Mit $n = 4$, $s = 4$, $t = 10$ gibt es 44 günstige Ergebnisse von $4^{4} = 256$, also $P = 44/256 \approx 0.171875$, etwa 17,1875 %.

Praktische Hinweise

• Die Verteilung einer Augensumme ist immer symmetrisch um $n(s+1)/2$. Bei zwei sechsseitigen Würfeln liegt dieser Mittelpunkt bei 7, bei drei bei 10,5 — deshalb sind 10 und 11 gleich wahrscheinlich.
• Die Frage nach „mindestens” der kleinsten Summe $n$ oder nach „höchstens” der größten Summe $n \times s$ ergibt immer die Wahrscheinlichkeit 1, weil jeder Wurf die Bedingung erfüllt.
• Die Chance wird nur angezeigt, wenn die Wahrscheinlichkeit größer als null ist — für eine unmögliche Summe gibt es keinen sinnvollen „eins zu”-Wert.
• Die Anzahlen der günstigen und der möglichen Ergebnisse werden nur angezeigt, solange $s^{n}$ klein genug für eine exakte ganze Zahl ist. Bei zwölf hundertseitigen Würfeln überschreiten $100^{12} = 10^{24}$ Ergebnisse diese Grenze, die Anzahlen bleiben daher verborgen, während die Wahrscheinlichkeiten als Verhältnisse weiterhin genau sind.
• Alle Berechnungen setzen faire, unabhängige Würfel voraus. Gezinkte Würfel, Neuwürfe, „niedrigsten Wurf streichen”-Regeln und explodierende Würfel verändern die Verteilung und sind hier nicht abgedeckt.
• Für ein Experiment mit zwei Ausgängen, das viele Male wiederholt wird, verwendet der Rechner für Münzwurf-Wahrscheinlichkeit stattdessen das Binomialmodell. Um die Chancen unabhängiger Ereignisse zu kombinieren, sehen Sie sich den Wahrscheinlichkeitsrechner an, und um Auswahlen statt Summen zu zählen, den Kombinationsrechner.